„Mertens-függvény” változatai közötti eltérés

Mivel a Möbius-függvény csak −1, 0 és +1 értékeket vehet fel, nyilvánvaló, hogy a Mertens-függvény értéke csak lassan változik, és minden ''x''-re |''M''(''x'')| &le; ''x''. A hiperbola-módszerrel közvetlenül adódik, hogy a [[prímszámtétel]] ekvivalens azzal, hogy ''M''(''x'')=''o''(''x''). A [[Riemann-sejtés]] pedig azzal ekvivalens, hogy minden &epsilon;>0-ra <math>M(x) = O(x^{\frac12 + \epsilon})</math>. Mertens 1897-ben felállította azt a sokkal erősebb sejtést, hogy alkalmas ''c''-re <math>|M(x)|\leq c\sqrt{x}</math>, sőt, hogy ''c''=1 megfelel, azaz <math>|M(x)|\leq\sqrt{x}</math> teljesül minden ''x''-re. Ebben a sejtésben lényegében senki nem hitt, mégis csak 1983-ban sikerült megcáfolnia A. M. Odlyzkonak és H. J. J. te Rielének hosszadalmas számítógépes kutatás segítségével, ami felhasználta [[Lovász László]] nevezetes LLL-algoritmusát. Eljárásuk azonban nem volt konstruktív, azaz csak olyan ''x'' szám létezését bizonyította (ún. egzisztenciabizonyítás), amire <math>|M(x)|>\sqrt{x}</math>, nem sikerült még becslést sem adnia ''x'' nagyságára. 1985-ben [[Pintz János]] mély analitikus módszerek segítségével belátta, hogy van ilyen ''x''