„Borel–Lebesgue-tétel” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: következő módosítása: ru:Лемма Гейне — Бореля |
a kisebb formai javítások |
||
17. sor:
teljesülne.
Ha <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy
:<math>\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}\ne\emptyset</math>
ami ellentmondás, hiszen <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy
: <math>\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset</math>
Tehát van <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math>-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező ''α''∈''A''-val a <math>\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}</math> a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.<big><big><big>[[Quod erat demonstrandum|■]]</big></big></big>
=== Bolzano–Weierstrass-tétellel ===
Mivel '''R''' teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a ''K'' korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup>. Definiálunk egy ''K''-ban haladó (''x''<sub>n</sub>) sorozatot. Ha Ω<sub>1</sub> lefedi ''K''-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω<sub>1</sub> nem fedi le ''K''-t, legyen ''x''<sub>1</sub> ∈ ''K'' \ Ω<sub>1</sub>. Ha Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub> már lefedi ''K''-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen ''x''<sub>2</sub> ∈ ''K'' \ (Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub>). Így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup> már lefedi ''K''-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''<sub>n</sub>) egy végtelen, ''K''-ban haladó sorozat lenne, aminek a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] szerint lenne ''u'' ∈ ''K'' sűrűsödési pontja. Mivel (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup> lefedi ''K''-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy Ω<sub>m</sub> nyílt halmaz. ''u''-nak van Ω<sub>m</sub>-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''<sub>n</sub>)-beli tag. (''x''<sub>n</sub>) konstrukciója szerint minden ''n''-re (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ω<sub>m</sub>-ben is végtelen sok tag van.
Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup> sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).<big><big><big>[[Quod erat demonstrandum|■]]</big></big></big>
32. sor:
A lefedési tulajdonság motiválja a kompakt halmaz fogalmát. A ''K'' ⊆ '''R''' halmaz kompakt, ha minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés. Ekkor a Borel–Lebesgue-tétel megfordítása érvényes:
'''Tétel''' – '''R'''-ben minden kompakt halmaz korlátos és zárt.
''Bizonyítás.'' Legyen ''K'' kompakt halmaz.
Először a korlátosságot látjuk be. Legyen ''u'' tetszőleges '''R'''-beli pont. Ekkor világos, hogy a (B(''u'',''n''))<sub>''n''∈''N''</sub> rendszer lefedi ''K''-t. Ebből kiválaszható ''véges'' részlefedés, melyek közül a legnagyobb sugarú lefedi ''K''-t, így ''K'' átmérője legfeljebb ennek a sugárnak a kétszerese.
Vegyünk egy tetszőleges ''x'' pontot ''K'' komplementeréből (''x'' ∉ ''K''). A
:<math>\mbox{ }_{\left(\,B\left(y,\frac{d(y,x)}{2}\right)\,\right)_{y\in K}}</math>
rendszer lefedi ''K''-t így létezik ''n'' darab y<sub>1</sub>, …, y<sub>''n''</sub> ''K''-beli elem, hogy
:<math>\mbox{ }_{K\subseteq\bigcup\limits_{i=1,...,n}\,B\left(y_i,\frac{d(y_i,x)}{2}\right)}</math>
Ha ''r'' a legkisebb sugár mindközül, akkor a B(x,r) halmaz nem metsz bele az iménti lefedés egyik elemébe sem, így ''K''-ba sem. Tehát ''K'' komplementere nyílt, ''K'' pedig zárt.
49. sor:
:'' '''R'''<sup>n</sup> egy részhalmaza akkor és csak akkor kompakt, ha korlátos és zárt.''
Ám, tetszőleges '''M''' [[metrikus tér]]ben csak a megfordítás érvényes:
:''Ha H az '''M''' metrikus tér részhalmaza, akkor:''
::''H kompakt <math>\Rightarrow</math> H korlátos és zárt''
::''H kompakt <math>\not\Leftarrow</math>H korlátos és zárt ''
Létezik ugyanis olyan metrikus tér és benne olyan korlátos és zárt halmaz, ami nem kompakt. Ilyen például a korlátos számsorozatok <math>\mbox{ }_{\ell^{\infty}(\mathbf{R})}</math> tere, ahol a norma: ||(x<sub>n</sub>)||=sup<sub>''n''</sub>{|''x''<sub>''n''</sub>|}, az ellenpélda pedig a <math>\mbox{ }_{\overline{B}(0,1)=\{s\in\ell^{\infty}(\mathbf{R})\;|\;||s-0||\leq 1\}}</math> zárt gömb (itt 0 az azonosan 0 sorozat).
Metrikus terekben a kompaktság ekvivalens a sorozatkompaktság fogalmával, így a Borel–Lebesgue-tétel és a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] ugyanannak a fogalomnak két ekvivalens megfogalmazását mondják ki. Ilyen általános közegben a kompaktság jellemzésére vonatkozik a tétel egy általánosítása:
| |||