„Differenciál” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló |
a kisebb formai javítások |
||
1. sor:
{{nincs forrás}}
A [[matematika]]i [[analízis]]ben egy [[differenciálhatóság|differenciálható]] [[
A differenciál kifejezés olyan értelemben is használatos, mint egy függvény végtelen kicsiny megváltozása, miközben a független változót végtelen kis mennyiséggel megváltoztatjuk. Ez esetben vagy beletörődnünk, hogy a "végtelen kis mennyiség" kifejezés nem teljesen jól definiált, és intuíciónkra bízzuk értelmének kibontását, vagy a [[nemsztenderd analízis]]hez fordulunk, mely halmazelméleti, modern logikai eszközökkel teszi pontossá a fogalom értelmezését.
7. sor:
Legyen ''f'' a valós számok egy részhalmazán értelmezett függvény, ''a'' az ''f'' értelmezési tartományának egy [[belső pont]]ja. Ekkor az ''f'' függvény ''a''-beli [[differenciálhatóság#Ekvivalens átfogalmazások|differenciálhatóságával]] egyenértékű a következőkkel:
# létezik olyan ''ε'' (az ''f'' értelmezési tartományán értelmezett) függvény, mely eltűnik ''a''-ban (azaz ott folytonos és értéke 0), továbbá
# van olyan ''A'' valós szám, hogy minden ''x''-re az ''f'' értelmezési tartományából:
::<math>f(x)=f(a)+A\!\cdot\!(x-a)+\varepsilon(x)\!\cdot\!(x-a)</math>
16. sor:
Ha az ''f'' fenti alakját deriváljuk (az egyenlőségből látható, hogy ''ε'' is differenciálható), akkor kapjuk, hogy:
:<math>f'(x)=A+\varepsilon'(x)\!\cdot\!(x-a)+\varepsilon(x)</math>
vagyis az ''x'' = ''a'' esetben ''f'' '(''a'') = ''A''. Az ''A'' szám tehát a [[derivált]], az ''x'' – ''a'' = ''h'' helyettesítéssel nyert
:<math>\mathrm{d}f(a):\;\;h \mapsto A\cdot h </math>
(homogén) lineáris leképezést pedig az ''f'' függvény ''a''-beli '''differenciál'''jának nevezzük.
=== Jelölések ===
Az ''a'' pontban az ''f'' függvény, vagy más néven az ''y = f(x)'' formula függvő változójának differenciálját
:<math>df(a)\,</math> vagy <math>df|_{x=a}\,</math> vagy <math>dy|_{x=a}\,</math>
jeloli. A független változó differenciálját, ahogyan az x – a különbséget nevezik
28. sor:
:<math>f(x)=f(a)+df(a)+\varepsilon\cdot dx</math>
ahol mind d''f''(a), mind ''ε'' függ ''x''-től, bár ezt nem mindig szokás kiírni. Fontos tudnunk, hogy mind ''df(a)'', mind ''dx'' valódi, véges mennyiség szemben a [[nemsztenderd analízis]] használta differenciállal, mely végtelen kicsi.
Gyakran a differenciál jelöléséből az ''a''-ra utaló jeleket elhagyják. ''x''-re mint középpontra és dx-re mint eltérésre felírva a függvény megváltozását:
:<math>\Delta f=f(x+dx)-f(x)=df+\varepsilon\cdot dx</math>
A differenciál definíciójából adódik, hogy a függő és független változó hányadosa éppen a derivált:
50. sor:
A másodrendű differenciált is figyelembe véve f-re egy másodfokú közelítést adhatunk. Ha ε-t is "lineáris + nemlineáris" alakban írjuk fel, akkor ''f(x)'' alkalmas ''B'' számmal és ''a''-ban nullához tartó ''x''<math>\mapsto</math>''η(x)'' függvénnyel a következő alakban fejezhető ki:
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)\!\cdot\!(x-a)+(B\!\cdot\!(x-a)+\eta(x)\!\cdot\!(x-a))\!\cdot\!(x-a)</math>
azaz
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)\!\cdot\!(x-a)+(B+\eta(x))(x-a)^2</math>
Ezt kétszer deriválva ''a''-ban, a következő azonosságot ismerhetjük fel:
60. sor:
=== Magasabb rendű differenciálok ===
A fentiekhez hasonlóan ''a''-ban ''n''-szer differenciálható ''f'' esetén definiálható az '''n-ed rendű differenciál''', melynek jelölése
:<math>d^nf(a)\,</math>
és melyre teljesül:
75. sor:
== Többváltozós függvény differenciálja ==
{{
[[Kategória:Differenciálszámítás]]
| |||