„Kvantor (logika)” változatai közötti eltérés

 

A kvantifikáció menete lényegében a következő. A ''„… halandó”''

:''„Mindenki halandó”'' ([[univerzális kvantifikáció]]),

:''„Létezik, aki halandó”'' (egzisztenciális kvantifikáció),

A mondat eme mennyiségi jellemzőjét nevezte [[Arisztotelész]] kvantitásnak, az utókor pedig az említett szavakat kvantornak.

 

A kvantorok közötti kapcsolatokra vonatkozó legegyszerűbb szabályokat először [[Arisztotelész]] írta le az ''[[Organon]]ban'' – ''lásd: [[tradicionális logika]]''. Azért tartotta fontosnak a „létezik olyan P, ami Q” és „minden P Q” alakban írható kijelentéseket, mert ezek általános igazságokat fejezhetnek ki, így a tudományok kijelentő mondatai bizonyosan ilyenekből állnak. A középkorban előrelépés nem történt. [[Euler]] volt az első, aki körökkel ábrázolta a kvantoros következtetéseket, az általános grafikus módszert azonban csak [[George Boole]] követője [[John Venn]] alkotta meg. Mindez csak olyan mondatokra volt alkalmazható, melyek csak egy kvantort tartalmaztak.

 

Az [[a matematikafilozófia története#Intuicionizmus, konstruktivizmus|intuicionista]] matematikusok kritizálták a kvantorok hagyományos értelmezését és némiképp más, módosított jelentéssel használták őket.

 

predikátum így írandó:

:„''x'' halandó”

Vagy egy matematikai példa: a „… négyzete 25” helyett sokkal hatékonyabb az „x²=25” írásmódot használni. Többváltozós példák: „''x'' azt hiszi, hogy ''y'' nem tud úszni”, „x+y=3”.

A kvantorok szándékolt jelentése a következő.

[[Kép:Kutyak1.png‎|jobbra|250px|bélyegkép|(B) igazságfeltétele, hogy akármelyik kutya fekete vagy fehér legyen, tehát (A)-ból, az egyszínű kutyák feltételéből következik (B). (B) szerint azonban előfordulhat, hogy vannak fekete és vannak fehér kutyák is, így (B)-ből nem következik (A).]]

azaz ha az ''A'' formula tartalmazza az ''x'' változót, akkor akármit ''x'' helyére helyettesítve, az így nyert formula igaz lesz. (Ha nem tartalmazza ''A'' az ''x''-et, akkor (∀x)''A'' elvileg nem különbözik ''A''-tól.)

:(∀x)(x = x) jelentése: „minden x egyenlő saját magával”,

:(∀x)(Ø ⊆ x) jelentése: „az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza”

 

Szemléletesen az univerzális kvantort tekinthetjük végtelen sok tényezőjű konjunkciónak, így egy természetes elvárásunkat teljesíti az 1. azonosság. A diszjunkcióra vonatkoztatva ez már csak egyirányba igaz mindig, ezt formalizálja a 2. következtetés. Hiszen abból, hogy „minden macska fekete vagy fehér”, nem következik, hogy „minden macska fekete vagy minden macska fehér”. Ez utóbbi ugyanis azt mondja, hogy minden macska ugyanolyan színű, míg az előbbi megengedi, hogy legyenek eltérő színű macskák. Holott a 2. képletben szereplő irányban érvényes a következtetés, csak akkor valamelyik szín említése fölösleges. Világos, hogy kellő odafigyeléssel elkerülhetjük, hogy következetési hibába essünk. Általában a (∀x) kvantor alól nem hozhatók ki az ''x''-et tartalmazó kifejezések. Ellenben, ha például az ''A'' formulában nem szerepel ''x'', akkor teljesül a 3. és 4. azonosság. Az egymás utáni ∀ kvantorok egymással felcserélhetők, ez az 5. szabály. Ez persze csak többváltozós ( A(x,y) ) predikátumok esetén releváns információ.

 

[[Kép:Hopelyhek.png‎|jobbra|250px|bélyegkép|(B)-ből következik (A). (A)-ból viszont nem következik (B), mert (A) akkor is igaz lehet, ha külön van nem piros ötágú hópehely és van nem ötágú piros hópehely, míg (B) csak akkor igaz, ha egy hópehelyre mindkét tulajdonság (piros, ötágú) igaz.]]

azaz ha az ''A'' formula tartalmazza az ''x'' változót, akkor bevezethetünk gy új ''t'' jelet, melyet az ''x'' helyére helyettesítve az így nyert ''A''( ''t'') formula igaz lesz. (Ha nem tartalmazza ''A'' az ''x''-et, akkor (∃x)''A'' elvileg nem különbözik ''A''-tól.)

:(∃x)(x < 2) jelentése: „létezik 2-nél kisebb szám”,

:(∃x)(∀y)(x &sube; y) jelentése: ''létezik olyan (''x'') dolog , mely minden (''y'') dolognak részhalmaza'', ti. az üres halmaz ilyen.

 

Intuitíve az egzisztenciális kvantort tekinthetjük végtelen sok tagú diszjunkciónak, így egy természetes elvárásunkat teljesíti az 1. azonosság. A konjunkcióra vonatkoztatva ez már csak egyirányba igaz mindig, csak a 2.-ben jelölt irányban. Hiszen abból, hogy „van fekete macska és van vegetáriánus macska”, nem következik, hogy „van fekete, vegetáriánus macska”. Holott a 2. képletben szereplő irányban érvényes a következtetés, csak akkor ugyanarról a fekete, vegetáriánus állatról teszünk két egzisztenciális kijelentést. A (∃x) kvantor alól sem hozhatók ki az ''x''-et tartalmazó kifejezések. Ha azonban az ''A'' formulában nem szerepel ''x'', akkor teljesül, ez olvasható a 3. és 4. képletben. Az egymás utáni ∃ kvantorok egymással felcserélhetők, ez az 5. szabály.

 

 

# <math>\neg(\forall x) A \;\Leftrightarrow\;(\exists x) \neg A</math>

# <math>(\forall x)(\exists y)A(x,y)\;\Leftarrow\; (\exists y)(\forall x)A(x,y)</math>

# <math>(\forall x)A \Rightarrow (\exists x)A</math>

# <math>(\exists x)A \Rightarrow (\forall x)B \;\Longrightarrow\;(\forall x)(A\Rightarrow B)</math>

 

 

== Lásd még ==