„Osztály (halmazelmélet)” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Bot: következő hozzáadása: ca:Classe (matemàtiques) |
a kisebb formai javítások |
||
4. sor:
:<math>\{x\mid P(x)\}</math>
jelöli. Mivel ez egyezik a halmazok tulajdonsággal történő megadásával, ezért el is érkeztünk az osztályok elméletének leglényegesebb kérdéséhez, ahhoz, hogy mi a kapcsolatuk a halmazokkal.
== Halmazok és osztályok ==
12. sor:
Példák valódi osztályokra:
:''Russell-osztály:''
::<math>\mathbf{Ru}:=\{x\mid\; ''x\;\; halmaz'' \;\wedge \;x \notin x \}</math>
:''Halmazok-osztálya'' vagy halmazelméleti univerzum:
::<math>\mathbf{Set}:=\{x\mid \; ''x\;\; halmaz'' \}</math>
: A ''H'' halmaz ''komplementer osztálya'':
::<math>H^C:=\{x \mid\;''x\;\; halmaz'' \;\wedge \;x \notin H \}</math>
: A ''C'' valódi osztály ''hatványosztálya''
::<math>\mathcal{P}(C):=\{x \mid\;''x\;\; halmaz'' \;\wedge \;x \subseteq C \}</math>
:Adott algebrai struktúrák osztálya, pl. az összes csoportok, T test feletti vektorterek, algebrák stb. osztálya:
29. sor:
A Zeremlo–Fraenkel-halmazelméletben ('''ZF''') az „osztály” formális kifejezése nem szerepel, hiszen '''ZF'''-ben minden változó halmazváltozó, azaz individuumot jelöl. Lehetőség van azonban az osztályt meghatározó tulajdonságon keresztül hivatkozni az osztályra. Ha ''P'' predikátum, akkor { ''x'' | P(''x'') } szimbólumsor (úgy nevezett ''osztályabsztrakció'') a metanyelv "olyan x-ek összesége, melyekre P teljesül" kifejezését rövidíti és lefordítható a tárgynyelvre az alábbi úgy nevezett kiküszöbölési szabályok segítségével. Jelöljük ''K''-val az { ''x'' | P(''x'') } és ''L''-lel az { ''x'' | Q(''x'') } osztályabsztrakciót és legyen ''a'' tetszőleges individuum. Ekkor:
:<math>a\in K \Leftrightarrow_{def} P(a)</math>
:<math>K\in a \Leftrightarrow_{def} (\exists y)((\forall x)(P(x) \Leftrightarrow x\in y)\wedge y\in a)</math>
:<math>K\in L \Leftrightarrow_{def} (\exists y)((\forall x)(P(x) \Leftrightarrow x\in y)\wedge Q(y))</math>
35. sor:
Minden ''K'' = {x | P(x) } ''valódi összesség''re (tehát az előző példákra is) igazolható, hogy '''ZF'''-ben tétel, miszerint
:<math>\neg(\exists y)(\forall x)(x\in y \;\Leftrightarrow\; P(x) )</math>
sőt a '''Ru''' összesség valódi osztály voltát már '''ZF'''<sub>0</sub>-ban is igazolni lehet (azaz axiómák nélkül, csak pusztán logikai okokból tejesül).
=== Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet ===
Az '''NBG'''-ben minden változó ''osztályváltozó'', így nem kell ügyeskedni az osztályok megnevezésével úgy, mint '''ZF'''-ben. A ''K'' osztály valódi, ha tétel a
:<math>\neg(\exists x)(K\in x)</math>
formula és halmaz, ha tétel a
:<math>(\exists x)(K\in x)</math>
Set(K)-val rövidített formula.
== Műveletek osztályokkal ==
64. sor:
:''Lásd még: [[osztálykalkulus]]''
Van az osztályoknak egy olyan elmélete, mely nincs beágyazva egyik halmazelméletbe sem. Természetesen ekkor a halmazelméletet meghatározó kétváltozós predikátumot a ∈ szimbólumot mellőznünk kell és ezzel együtt az összes, csak ezzel kifejezhető osztályt.
Az egyszerű osztálykalkulus egy formális matematikai elmélet, melynek változói osztályokat jelölnek (például '''NBG'''-beli osztályokat), egyetlen logikai relációjele pedig a részosztály tartalmazás vagy osztályinklúzió ⊆ szimbóluma.
76. sor:
::<math>(''C\cap A=\emptyset'')\wedge (\forall D)(''D\cap A=\emptyset''\Rightarrow D\subseteq C)</math>
:ahol <math>''C\cap A=\emptyset''</math> jelsor a következő formulát rövidíti:
::<math>(\forall D)(\forall E)(D\subseteq (C\cap A) \Rightarrow (D\subseteq E)</math>
Az egyszerű osztálykalkulust nem azért nevezzük egyszerűnek, mert formulái rövidek lennének, hanem mert olyan osztályelmélet, melyben nem lép fel a [[Russell-paradoxon]], mely ellentmondásmentes és melynek ismert negációteljes bővítése. Ellenben nem alkalmas a [[természetes szám]]ok modellálására, így a matematikában nem nagyon alkamazható. Az alkalmazhatóság szempontjából jobb tulajdonságokkal rendelkező elmélet (az általános osztályelmélet) megalkotását [[Bertrand Russell]] nevéhez köthetjük (ez az elmélet persze már nem feltétlenül teljes, nem feltétlenül ellentmondásmentes és a [[Gödel első nemteljességi tétele|Gödel-tétel]] hatása alá esik ).
86. sor:
{{Link FA|lmo}}
[[en:Class (set theory)]]
[[ca:Classe (matemàtiques)]]
| |||