„Palindromszámok” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a "class=prettytable" cseréje {{széptáblázat}} sablonra |
a kisebb formai javítások |
||
4. sor:
:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292, 303, …
A palindromszámok nagy figyelmet kapnak egyes matematikai feladványokban.<ref>Az eredeti angol nyelvű szövegben a ''[[:en:recreational mathematics]]'' kifejezéssel éltek.</ref> Jellemzőek lehetnek például az olyan problémafelvetések, amelynek során olyan számok keresése a cél, amelyek egyrészt valamely jellegzetes, meghatározott tulajdonsággal bírnak ''és'' palindromok. Például:
* palindrom [[prímszám|prím]]ek halmaza: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, …
* palindrom [[négyzetszámok]] halmaza: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …
[[Buckminster Fuller]] a [[Szinergetika]] című könyvében a palindromszámokat – ''[[Az Ezeregyéjszaka meséi]]'' című gyűjteményben szereplő mesemondó lány után – '''Seherezádé-számok'''nak nevezi.
Könnyen belátható, hogy bármely palindromszám középső (páros számú számjegyből álló palindromszám esetén: középső kettő) számjegyének tetszőleges számú megismétlésével kapott szám szintén palindromszám. Például: 101, 1001, 10001, …
Az egyjegyű számok és az azonos számjegyekből álló számok palindromok. Bármely egész alapú [[számrendszer]]ben végtelen sok palindromszám van, mert az azonos számjegyekből álló számok minden számrendszerben végtelen sorozatot alkotnak. Ilyenek például a repunitok, amiknek minden jegye 1. Az első néhány repunit 1, 11, 111, …
== Definíció ==
Habár többnyire [[tízes számrendszer]]ben tekintik a palindromszámokat, a palindromtulajdonság bármely egész alapú számrendszerben felírt [[természetes szám]]ra is alkalmazható.
Tekintsük a ''b'' alapú számrendszerben felírt ''n'' > 0 számot, ahol is ''k''+1 jegyű, és jegyei az ''a''<sub>''i''</sub> számok:
:<math>n=\sum_{i=0}^ka_ib^i</math>
ahol is 0 ≤ ''a''<sub>''i''</sub> < ''b'' minden ''i''-re, és ''a''<sub>''k''</sub> ≠ 0.
Az ''n'' szám palindrom [[akkor és csak akkor]], ha ''a''<sub>''i''</sub> = ''a''<sub>''k''‒''i''</sub> minden ''i''-re.
25. sor:
Egy másik, az előzővel ekvivalens definíció: Legyen rögzítve a tetszőleges ''b'' alap. Az ''n'' szám palindrom a ''b'' alapú számrendszerben, ha:
* ''n'' egyjegyű
* ''n'' kétjegyű, és számjegyei egyenlőek
* ''n'' legalább háromjegyű; az első számjegye egyenlő az utolsóval, és az első és utolsó számjegy elhagyásával kapott szám palindrom.
== Palindromszámok a tízes számrendszerben ==
A második ekvivalens definíció szerint minden egyjegyű szám palindrom. A kétjegyű palindromok száma 9:
:{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.
39. sor:
10<sup>5</sup>-ig 1099 létezik,, és a többi 10<sup>n</sup> hatványra:
:1999, 10999, 19999, 109999, 199999, 1099999, … {{OEIS|id=A070199}}.
A következő táblázatban számelméleti tulajdonságok szerint vannak listázva a palindromszámok:
150. sor:
|}
== Más számrendszerekben ==
Palindromszámok más számrendszerben is értelmezhetők. Például a [[kettes számrendszer]]ben:
:0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …
tízes számrendszerbeli alakban 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … {{OEIS|id=A006995}}.
A [[Mersenne - prím]]ek a kettes számrendszerbeli palindrom prímszámok részsorozatát alkotják.
Általában az egyik számrendszerben palindrom szám nem palindrom egy másik számrendszerben; például 16461<sub>10</sub> = 404D<sub>16</sub>. Az alsó index a számrendszereket jelöli. Vannak olyan számok, amik több számrendszerben is palindromok. Ilyen például a 105<sub>10</sub>:
1221<sub>4<</sub> = 151<sub>8</sub> = 77<sub>14</sub> = 55<sub>20</sub> = 33<sub>34</sub>.
Az 1991 tízes és [[tizenhatos számrendszer]]ben is palindrom: 7C7.
167. sor:
7<sup>6</sup> = 12321
7<sup>9</sup> = 1367631
A huszonnégyes számrendszerben 5 első nyolc hatványa palindrom:
321. sor:
|}
== Lychrel - sejtés ==
A Lychrel -sejtés egy egyszerűnek látszó probléma. Egy nempalindrom számot megfordítanak, és összeadnak. Ha az eredmény nem palindrom, akkor megfordítják, és összeadják az eredetivel. Ezt ismétlik, amíg palindromszámot nem kapnak. Ez a Lychrel - algoritmus. A sejtés az, hogy bármely kezdőértékkel indulva az algoritmus véget ér.
Vannak számok, amikre az algoritmus sokáig fut, mielőtt véget ér. Ilyen például a 196, ami csak 700,000,000 iteráció után ad palindromszámot. Azok a számok, amikre az algoritmus nem áll meg, a Lychrel - számok.
== Elnevezésük más nyelveken ==
A [[spanyol nyelv|spanyol]] '''''capicúa''''' szó [[katalán nyelv|katalán]] eredetű, amiben a ''"cap"'' szó fejet, a ''"cúa"'' farkat jelent. Az ''"i"'' (és) szócska összekapcsolja a kettőt. Ezt a szót a spanyolból átvette a [[portugál nyelv|portugál]] is, és az egész spanyol világ, és a [[köznyelv]]ben többnyire ezt, és nem a palindrom szót használják.
== Források, jegyzetek ==
{{források}}
* Malcolm E. Lines: ''A Number for Your Thoughts: Facts and Speculations about Number from Euclid to the latest Computers'': CRC Press 1986, ISBN 0852744951, S. 61 ([http://books.google.de/books?id=Am9og6q_ny4C&pg=PT69&dq=palindromic+number&lr=&as_brr=3&sig=ACfU3U2mB1VPUV1xTg17Sw0BI3XuZzvQow Limited Online-Version (Google Books)])
* {{MathWorld|urlname=PalindromicNumber|title= Palindromic Number}}
* [http://www.jasondoucette.com/worldrecords.html Jason Doucette - 196 Palindrome Quest / Most Delayed Palindromic Number]
* [http://www.p196.org 196 and Other Lychrel Numbers]
* [http://www.mathpages.com/home/kmath359.htm On General Palindromic Numbers] at MathPages
[http://mathforum.org/library/drmath/view/57170.html Palindromic Numbers to 100,000] from Ask Dr. Math
* [http://free.pages.at/neuenkirchen/palindrom Palindromszámok a alapú számrendszerben]
| |||