„L’Hôpital-szabály” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a r2.7.1) (Bot: következő módosítása: eu:L'Hôpitalen erregela |
|||
6. sor:
Egy algebrai tört határértékproblémája esetén, például a
:<math>\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}</math>
:<math>\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{x-1}{x+1}=\frac{0}{2}=0</math>
Bonyolultabb függvényeknél, hasonló esetben, például a
:<math>\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}</math>
határértéknél a fenti módon nem tudjuk megszüntetni a 0-val való osztást. Hogy mód nyíljon valamiféle egyszerűsítésre esetünkben is, írjuk fel a függvényeket hatványsor alakban, azaz [[Taylor-sor]] formájában,
:<math>f(x)=\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{x^n}{n!}-1}{\sum\limits_{k=0}^{\infty}\cfrac{x^{2k+1}(-1)^{k}}{(2k+1)!}
}=\frac{x+\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{6}+...}{x-\cfrac{x^3}{6}+\cfrac{x^5}{120}-...}=\frac{1+\cfrac{x}{2}+\cfrac{x^2}{6}+...}{1-\cfrac{x^2}{6}+\cfrac{x^4}{120}-...}</math>
Rögzített ''x'' szám esetén a sorok összegének homogén tulajdonsága folytán kiemeltük ''x''-et, majd a törtet egyszerűsítettük. Ekkor a határértékképzés és az összegzés felcserélhetősége miatt adódik, hogy:
:<math>\mbox{ }_{\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{1}=1}</math>
Tekintve, hogy a sor konstans tagja tűnt el
==Az egyszerű L’Hospital-szabály==
| |||