„Harmonikus sor” változatai közötti eltérés

Az elnevezésnek az a forrása, hogy egy <math>''h</math>'' [[Hullámhossz|hullámhosszú]] hang felhangjának a hullámhosszai <math>''h''/''n'' \left(''n''=2,3,...\right)</math>. A
:<math>\sum_{n=1}^\infty\left(h/n\right)</math>
sor tehát tartalmazza a hangot az összes felhangjával együtt. Mivel a felhangokat több nyugati nyelven harmonikusoknak is nevezik, így a sor harmonikus.

Konkrétan <math>''h''/2,''h''/3,...,''h''/8</math> rendre az oktáv, az oktáv és kvint, a második oktáv, a két oktáv és nagy terc, a két oktáv és kvint, a két oktáv és szeptim, valamint a harmadik oktáv hullámhosszai.

Ha a sor <math>''n</math>''-edik részletösszege s<mathsub>s_nn</mathsub>, akkor

Mivel a harmonikus sor az összes pozitív egész szám reciprokát tartalmazza, várható, hogy a sor viselkedésének számelméleti vonatkozásai is vannak. Ez valóban így van. A harmonikus sor divergenciáját felhasználva új bizonyítást adhatunk arra, hogy végtelen sok prímszám létezik. Tegyük fel ugyanis, hogy csak véges sok prím van, és legyenek ezek <math>p_1,...,p_k</math>. Minden <math>''i</math>''-re és <math>''N</math>''-re fennállnak az

minden <math>''N</math>''-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelynek a prímtényezős felbontásában minden prím kitevője legfeljebb <math>''N</math>'' (hiszen az indirek feltevés szerint nincs más prím <math>p_1,...,p_k</math>-n kívül). Nyilvánvaló, hogy <math>''N</math>''-ig minden szám ilyen, tehát <math>\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}=s_N<\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}</math>. Ez azonban lehetetlen, hiszen
:<math>s_N\rightarrow\infty</math>, ha <math>N\rightarrow\infty</math>.