A virtuális munka elve

A virtuális munka akkor merül fel, amikor a legkisebb hatás elvét alkalmazzuk a mechanikai rendszer erőinek és mozgásának tanulmányozására. Egy részecskére ható erő munkája más-más elmozdulásra más és más értékű. A lehetséges elmozdulások közül a részecske olyan pályán mozog, amelyen a hatás minimális, tehát az a pálya, amelyen a részecske halad, a minimális hatás elvének megfelelő. Egy virtuális elmozdulás során a részecskére ható erők által végzett mechanikai munkát virtuális munkának nevezzük. Történelmileg a virtuális munka elvét a hozzá tartozó variációszámítással együtt a szilárd testek rendszerének tanulmányozására hozták létre, de továbbfejlesztették a deformálható testek tanulmányozására is.

Története

A virtuális munka elvének alkalmazása egészen a statika antik korbeli tanulmányozásáig nyúlik vissza, használták a görögök, arabok, latinok.

A 17. század több jeles jeles fizikusa felismerte a virtuális munka ötletének jelentőségét a statikai problémák megoldásában, mint Galilei, Descartes, Torricelli, Wallis és Huygens. A leibnizi elvvel dolgozva Johann Bernoulli rendszerbe foglalta a virtuális munka elvét. Bernoulli álláspontja a virtuális munka törvényével kapcsolatban megjelent az egyik Pierre Varignon-hoz írott levelében, amelyet később publikáltak a Nouvelle mécanique ou Statique második kötetében 1725-ben. 1743-ban D'Alembert publikálta a Traite de Dynamique c. művét, amelyben a virtuális munka törvényét, Bernoulli munkájából kiindulva, különböző dinamikai problémák megoldására használta. Az ő ötlete az volt, hogy alakítsuk át a dinamikai problémát statikai problémává tehetetlenségi erő bevezetésével. 1768-ban Lagrange a virtuális munka elvét egy sokkal hatékonyabb formában mutatta be általános koordinátákat bevezetve, ami alkalmas bármilyen egyensúlyi feltétellel kapcsolatos probléma megoldására a mechanikában.

Ez megjelent az 1788-ban publikált Méchanique Analitique c. művében. Habár Lagrange a legkisebb hatás elvét tartotta a műve legfontosabb eredményének, felismerte, hogy a virtuális munka elve sokkal alapvetőbb, az egész mechanika alapjának tekinthető. A modern felfogás szerint azonban a legkisebb hatás elve nem alkalmazható nem konzervatív erőtérben.

A virtuális munka elve

A mechanikában az egyensúlyi helyzet tárgyalásánál a kényszererők megadása sok esetben bonyolult vagy nem lehetséges, ilyen esetekben alkalmazzuk a virtuális munka elvét. A virtuális munka elvének felhasználásával anélkül adható meg az egyensúlyfeltétel, hogy ismernénk a kényszererőket. Az elv az energiamegmaradás tételére épül, kidolgozása D’Alembert nevéhez fűződik.

Maga az elv

Az elv tárgyalását kezdjük egy egyensúlyban lévő anyagi ponttal. Ahhoz, hogy a test egyensúlyban legyen szükséges, hogy a testre ható erők eredője $\mathbf {F=0}$. Képzeletben mozdítsuk el a testet egy igen kicsiny $\delta \mathbf {r}$ távolsággal. Az ilyen infinitezimálisan kicsi képzeletbeli elmozdulást nevezzük virtuális elmozdulásnak: a valóságos $\mathrm {d} \mathbf {r}$ elmozdulástól a $\delta$-val különböztetjük meg. Míg a valós elmozduláshoz mindig időre van szükség, addig a virtuális elmozdulás esetében úgy tekintjük, hogy az elmozdulás ideje $\delta t=0$. (Úgy tekintjük, hogy virtuális elmozdulás "sebessége" végtelen.) Mint már láttuk, az egyensúlyfeltételből következik az $\mathbf {F=0}$ egyenlőség, ami azt jelenti, hogy a végzett mechanikai munka $\delta L=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r=0}$. A $\delta L=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} =0$ összefüggés akkor és csakis akkor áll fent tetszőleges $\delta \mathbf {r}$ esetén, ha $\mathbf {F=0}$, azaz kijelenthetjük, hogy egy test akkor és csakis akkor van egyensúlyban, ha a virtuális munka $\delta L=0$. A fenti megfogalmazás azért előnyös, mert így a fenti elvet általánosíthatjuk kényszerfeltételekre is. A fentiek alapján a kényszerfeltételeknek alávetett anyagi pont akkor van egyensúlyban, ha $\mathbf {(F+F')} \cdot \delta \mathbf {r} =0$, ahol $\mathbf {F}$ a szabad erőt, $\mathbf {F'}$ pedig a kényszererőt jelöli.

Virtuális elmozdulás alatt mindig a kényszerfeltétek által megengedett elmozdulást értünk, tehát a virtuális elmozdulás mindig a kényszert jelentő felület mentén történik, azaz a kényszererő merőleges az elmozdulásra, tehát mechanikai munkája zéró. A test akkor van egyensúlyi helyzetben, ha a szabad erők mechanikai munkája zéró.

Példa

A jobb oldali ábrán egy $O$ forgáspontban rögzített rúd látható, melyre az $O$ ponttól $l/n$ távolságra egy $\mathbf {G}$ súlyú test van rögzítve. Az $O$ ponttól $l$ távolságban lévő $A$ pontban egy a $CS$ csigán átvetett kötél van rögzítve a rúdhoz, a kötél végén egy $\mathbf {G'}$ súlyú testtel. Az a kérdés, hogy ha $\mathbf {G}$ adott, akkor mekkorának kell lennie $\mathbf {G'}$-nek, hogy a rendszer egyensúlyban legyen. Képzeletben mozdítsuk ki a rudat az $A$ pontban egy kicsiny $\delta \mathbf {r'}$ távolsággal, mely a rúd $O$ pont körüli kicsiny elfordulásának feleltethető meg. Beláthatjuk, hogy ez a kényszerfeltételek által valóban megengedett és hogy a $\mathbf {G}$ súly helyén a $\delta \mathbf {r}$ virtuális elmozdulást okozza. Feltételezve, hogy a rúd merev, az elfordulási szög vizsgálatából a $\delta \mathbf {r'} /l=\delta \mathbf {r} /(l/n)$ egyenlőség ered, mely a következő alakra egyszerűsíthető: $\delta \mathbf {r'} =\delta \mathbf {r} \cdot n$. A virtuális munka elve alapján az egyensúlyi helyzetből való virtuális kitérés esetén a virtuális munka nulla, tehát $\mathbf {-G'} \cdot \delta \mathbf {r'} +\mathbf {G} \cdot \delta \mathbf {r} =0$, ahol $\mathbf {G}$ és $\mathbf {G'}$ skaláris formában szerepel. Felhasználva a $\delta \mathbf {r'} =\delta \mathbf {r} \cdot n$ összefüggést, majd egyszerűsítve $\delta \mathbf {r}$-rel megkapjuk a megoldást, mely szerint $\mathbf {G'} =\mathbf {G} /n$. Ugyanerre a megoldásra jutunk, ha a feladatot nem a virtuális munka elve alapján, hanem a nyomatéki egyenletből kiindulva oldjuk meg.

Források

• Filep Emőd, Néda Árpád: Mechanika. Egyetemi jegyzet. 150. oldal.
• Budó Ágoston: Mechanika. Hetedik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest 1985. 62. oldal.