Hohmann-pálya

A Hohmann-pálya (vagy Hohmann transzfer pálya) energia-felhasználás szempontjából két, azonos síkban lévő, kör alakú keringési pálya közötti leghatékonyabb (időtartam szempontjából azonban a leghosszabb) átmeneti pálya az égi mechanikában.

Hohmann-pálya szemléltetése:
1 - a kisebb sugarú körpálya
2 - a Hohmann-pálya
3 - a nagyobb sugarú körpálya

A művelet során mindössze kétszer kell az űrhajó meghajtását igénybe venni: először a kisebb sugarú körpálya elhagyásakor, amikor az űrhajó a körpályáról elliptikus pályára tér át, majd az ellipszis nagyobbik sugaránál, ahol az ellipszis a nagyobb körpályát érinti, és az űrhajó az elliptikus pályáról a nagyobbik kör alakú pályára tér át.

Az ellipszis alakú átmeneti pálya egyik érintője a kisebb, a másik érintője a nagyobb sugarú pályánál van.

Műhold pályamódosítása

Ugyanez a technika alkalmazható egyetlen objektum körüli keringés során is, amikor a keringő objektum alacsonyabb pályáról magasabb pályára tér át (vagy fordítva).

A nagyobb sugarú körpályáról a kisebb sugarú körpályára való átmenet során hasonlóképpen kétszeri fékezésre van szükség.

Elmélet és gyakorlat

A pályamódosító műveleteket elméletileg nulla idő alatt, impulzusszerűen kellene végrehajtani, a gyakorlatban nagy tolóerejű hajtóművekre van szükség. Kisebb tolóerejű hajtóművel csak úgy kapunk Hohmann-pályát, ha a hajtóművet pontosan kiszámított időpontokban, többször használjuk. Ilyenkor a kezdeti körpálya fokozatosan „öblösödik” és végül olyan ellipszissé alakul, ami megfelel a normál Hohmann-pálya ellipszisének. Ebben az esetben azonban az átmenethez szükséges idő a többszörösére növekszik.

Számítások

Egy nagyobb test körül keringő kisebb test teljes energiája (amilyen például egy műhold a Föld körül) a mozgási energia és a potenciális energia összege. Ez az energia egyenlő az ellipszis fél nagytengelyénél lévő potenciális energia felével.

Ha $a$ a fél nagytengely,

$E={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {-GMm}{2a}}\,$

Megoldva az egyenletet a $v$ sebességre, a következőt kapjuk:

$v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$

ahol:

• $v\,\!$ a keringő test sebessége
• $\mu =GM\,\!$ annak a testnek a standard gravitációs állandója, ami körül a másik test kering
• $r\,\!$ a keringő test távolsága az elsődleges fókusztól
• $a\,\!$ a keringő test fél nagytengelye

Ezek alapján a Hohmann-pálya eléréséhez szükséges sebességváltozás (delta-v) számítása (az azonnali változás esetére):

$\Delta v={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right)$,

$\Delta v^{\prime }={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\,\!\right)$,

ahol $r_{1}$ és $r_{2}$ az indulási és az érkezési körpályák sugarai

Kepler harmadik törvénye szerint a két pálya közötti átmenet ideje:

$t_{H}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{H}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}$

(a keringési periódus fele az ellipszisen), ahol $a_{H}\,\!$ a fél nagytengelye a Hohmann-pályának.

Példák

Alacsony Föld körüli pályáról geoszinkron pályára való átállás Hohmann-pályán haladva 5 órát vesz igénybe. Alacsony Föld körüli pályáról Hold körüli pályára körülbelül 5 napot, míg a Földtől a Mars pályájáig körülbelül 259 napot. A megcélzott égitesttel való találkozás, illetve a külső pálya megfelelő pontjának elérése érdekében figyelemmel kell lenni az indítási ablakra is.

Nevének eredete

A Hohmann-pálya a nevét Walter Hohmann német mérnök iránti tiszteletből kapta, aki 1925-ben megjelent munkájában javasolta.

Irodalom

• Walter Hohmann. Die Erreichbarkeit der Himmelskörper. Verlag Oldenbourg in München (1925). ISBN 3-486-23106-5 
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B.. Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole (2003). ISBN 0-534-40896-6 
• Bate, R.R., Mueller, D.D., White, J.E.,. Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, New York (1971). ISBN 978-0486600611 
• Vallado, D. A.. Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 2nd Edition. Springer (2001). ISBN 978-0792369035 
• Battin, R.H.. An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. American Institute of Aeronautics & Ast, Washington, DC (1999). ISBN 978-1563473425 

Külső hivatkozások

• Orbital Mechanics