Univerzális osztály

Univerzális osztálynak nevezzük a halmazelméletben az összes halmaz osztályát. Alternatív elnevezések: univerzum, halmazuniverzum.) Bevett jelölése: $\mathrm {V}$. Meghatározása:

$\mathrm {V} =\{x|\,x=x\}$

Szavakban: $\mathrm {V}$ azon individuumok osztálya, amelyek azonosak önmagukkal. Mivel az $x=x$ formula logikai igazság, minden individuum eleme a $\mathrm {V}$ osztálynak.

A legtöbb halmazelméleti axiómarendszerben $\mathrm {V}$ valódi osztály. Az ellenkező feltevés a Cantor-paradoxon néven ismert ellentmondásra vezetne. Kivételt képeznek az alábbi halmazelméletek, amelyekben az univerzális osztály halmaz, és eleme önmagának:

• a New Foundations elméletcsalád;
• a pozitív halmazelméletek;
• a Church-Oswald halmazelmélet.

A jólfundált halmazelméletekben $\mathrm {V}$ egybeesik a Russell-osztállyal. Ezekben az elméletekben a Russell-paradoxon is akadályozza, hogy a halmazok közé soroljuk.

Atomos halmazelméletekben a fenti meghatározás az összes individuum (halmaz és atom) osztályát vezeti be. Ha $\mathrm {V}$-t nem az összes individuum, hanem az összes halmaz osztályaként szeretnénk meghatározni, akkor az alábbi meghatározással kell élnünk:

$\mathrm {V} =\{x|\,\mathrm {m} (x)\}$

(Itt $\mathrm {m} (x)$ rövidíti azt, hogy x halmaz.)

Irodalom

• Th. Forster: Set Theories With a Universal Set: Exploring an Untyped Universe (Oxford Logic Guides 31). Oxford University Press, 1995.