Stackelberg-duopólium

A Stackelberg-duopólium duopolhelyzetben lévő vállalatok viselkedésének modellezésére szolgál a mikroökonómiai piacelméletben. A modellt Heinrich von Stackelberg német közgazdász alkotta meg 1934-ben írott, Marktform und Gleichgewicht (Piaci forma és egyensúly) című művében.

A Stackelberg-duopólium jellemzői:

• A piacon rövid és hosszú távon is pontosan két eladó (a továbbiakban: vállalat) van jelen, akik között nincs együttműködés.
• A két vállalat ugyanazt a jószágot állítja elő.
• A megtermelt jószágegységek homogének, azaz minőségükben nem különböznek egymástól.
• A vállalatok egyetlen célja profitjuk maximalizálása, aminek érdekében az összes rendelkezésükre álló információt felhasználják.
• A vállalatok csak a jószág általuk kibocsátott mennyiségéről döntenek, a jószág – egyetlen – árát piaci folyamatok alakítják ki.
• A vállalatok kínálati döntésüket szekvenciális módon, vagyis stratégiai szempontból egymás után hozzák. Ez azt jelenti, hogy az egyik vállalat – a követő – kínálati döntésének meghozatalakor ismeri a másik – a vezető – döntését; fordítva viszont ez nem teljesül.
• A vezető vállalat ismeri a követő költségviszonyait.

A reakciófüggvény

Jelöljük a két vállalat által kínált jószág keresleti függvényét $D(p)\,$-vel (p a piaci ár); a vezető, illetve a követő vállalat kibocsátását y_v-vel, illetve y_k-val; összköltség-függvényeiket pedig $C_{v}(y_{v})\,$-vel és $C_{k}(y_{k})\,$-val.

Először a követő profitmaximalizálási feladatát vesszük szemügyre. A követő vállalat profitja – $\pi _{k}\,$ – definíció szerint az árbevétel (a jószág ára szorozva a kibocsátott mennyiséggel) és az összköltség különbsége:

$\pi _{k}=p\cdot y_{k}-C_{k}(y_{k})$

A vállalat azt is tudja, hogy p értéke a piaci folyamatok révén határozódik meg; méghozzá olyan módon, hogy a jószág piaci kereslete egyenlő lesz a teljes piaci kínálattal ($y_{v}+y_{k}\,$):

$D(p)=y_{v}+y_{k}\,$

Ugyanezt az egyenlőséget a keresleti függvény inverzére (jelöljük ezt nagy P-vel) felírva:

$p=P(y_{v}+y_{k}),\,$

így a követő profitfüggvénye csak a két vállalat kibocsátásától függ:

$\pi _{k}=P(y_{v}+y_{k})\cdot y_{k}-C_{k}(y_{k})$

A profitot maximalizáló y_k értékre a profitfüggvény deriváltja – az egyváltozós szélsőérték-számítás szabályai szerint – 0-val lesz egyenlő (a differenciálhatóságot a függvény minden pontjában feltételezzük):

${\frac {\partial P(y_{v}+y_{k})}{\partial y_{k}}}\cdot y_{k}+P(y_{v}+y_{k})-MC_{k}(y_{k})=0$

MC_k nem más, mint az összköltségfüggvény y_k szerinti deriváltja, amit határköltségnek nevezünk.

Mivel a követő vállalat ismeri a vezető kibocsátását (y_v-t), ezért ebben az egyenletben valójában egyetlen ismeretlen szerepel: y_k; az egyenletet megoldva a követő megkapja a profitját maximalizáló kibocsátási szintet.

De úgy is fogalmazhatunk, hogy ez az egyenlet implicit módon meghatározza az $y_{k}(y_{v})\,$ függvényt, amit a követő vállalat reakciófüggvényének nevezünk. A reakciófüggvény megmutatja, hogy a vezető valamekkora kibocsátására mennyi a követő profitmaximalizáló kibocsátása.

A vezető döntése

A követő vállalathoz hasonlóan a vezető számára is saját profitjának maximalizálása a cél. A Stackelberg-duopólium jellemzői között feltettük, hogy a vezető vállalat ismeri a követő költségviszonyait, így a határköltségét (MC_k) is. Ez számára nagyon fontos információ, mert lehetővé teszi, hogy a követő vállalathoz hasonlóan ő is le tudja vezetni a követő reakciófüggvényét. Így viszont képes arra, hogy nem csupán a saját kibocsátásáról, hanem – azzal együtt – a követőéről is döntsön; y_k-nak pedig számára is van jelentősége, mert az az inverz keresleti függvény révén a piaci árat, így pedig a vezető profitját is befolyásolja.

Ez a pluszinformáció a vezető számára döntő jelentőségű; a lejjebbi példában látni fogjuk, hogy ezt (és a döntés elsőségének jogát) „pluszhatalomra”, piaci erőfölényre fogja váltani.

Írjuk fel a vezető vállalat profitját (az ár helyébe helyettesítsük mindjárt az inverz keresleti függvényt, a követő kibocsátásának helyébe pedig a reakciófüggvényt):

$\pi _{v}=P(y_{v}+y_{k}(y_{v}))\cdot y_{v}-C_{v}(y_{v})$

Ha a profit maximális, az y_v szerinti deriváltja 0:

${\frac {\partial \pi }{\partial y_{v}}}={\frac {\partial P(y_{v}+y_{k}(y_{v}))}{\partial y_{v}}}\cdot y_{v}+P(y_{v}+y_{k}(y_{v}))-MC_{v}(y_{v})=0$

Ebben az egyenletben csak y_v az ismeretlen. Ha a vezető vállalat megoldja, megkapja a profitját maximalizáló kibocsátás értékét.

A reakciófüggvény, az egyenlőprofit-görbék és a Stackelberg-egyensúly.
(Megjegyzés: A reakciófüggvény általánosságban nem feltétlenül negatív meredekségű és lineáris. Elégséges feltétele ennek például, ha a keresleti függvény lineáris és negatív meredekségű, a követő határköltsége pedig konstans.)

Az egyensúly

Az imént levezetett y_v és – a reakciófüggvényből származó – y_k értékek mindkét vállalat profitját maximalizálják, feltéve, ha a másik is optimálisan dönt; más szóval, egyensúlyi állapotban vagyunk.

Grafikusan ez az egyensúly a követő vállalat reakciófüggvényének és a vezető egyenlőprofit-görbéinek érintési pontjaként szemléltethető. Ez utóbbiak olyan görbék, amelyeknek a pontjaihoz ugyanaz a profit tartozik. Tehát a vezető vállalat a követő reakciófüggvényéről a számára legnagyobb profitot biztosító pontot fogja választani.

Egy példa

Egy kisvárosban két fagylaltos „tevékenykedik”. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy mindketten csak egyféle fagylaltot (mondjuk csokit) árulnak, és a két „vállalat” fagylaltját senki sem tudja egymástól megkülönböztetni. Az általuk alkotott duopóliumra teljesülnek a Stackelberg-modell feltételei. Mindkét vállalat hetente hozza meg a kínálati döntését, de az egyikük később, mint a másik, így az egyik (a követő) meg tudja figyelni a másik (a vezető) döntését.

A fagylalt keresleti függvénye (a mennyiség egysége legyen 1 gombóc):

$D(p)=1600-8p\,$

A vezető vállalat valamivel olcsóbban szerzi be az alapanyagot, így a határköltsége konstans 70 forint, míg a követőé konstans 80 forint.

Kérdések: Mennyi lesz az egyes vállalatok Stackelberg-egyensúlyi kibocsátása, valamint a piaci ár? Mennyi volna az összkibocsátás és az ár abban az esetben, ha a fagylaltnak versenyzői piaca lenne?

A reakciófüggvény

A reakciófüggvényt implicit módon meghatározó egyenlet:

${\frac {\partial P(y_{v}+y_{k})}{\partial y_{k}}}\cdot y_{k}+P(y_{v}+y_{k})-MC_{k}(y_{k})=0$

Az inverz keresleti függvény levezetése:

${\begin{matrix}D(p)=1600-8p\\8p=1600-D(p)\\p=200-{\frac {1}{8}}\cdot D(p)=200-{\frac {1}{8}}\cdot (y_{v}+y_{k})=P(y_{v}+y_{k})\end{matrix}}$

Mivel ${\frac {\partial P(y_{v}+y_{k})}{\partial y_{k}}}=-{\frac {1}{8}}$, ezért behelyettesítve a fenti egyenletbe:

${\begin{matrix}-{\frac {1}{8}}\cdot y_{k}+200-{\frac {1}{8}}\cdot (y_{v}+y_{k})-80=0\\120-{\frac {1}{8}}\cdot y_{v}={\frac {1}{4}}\cdot y_{k}\\480-{\frac {1}{2}}\cdot y_{v}=y_{k}\end{matrix}}$

Megkaptuk a követő vállalat reakciófüggvényét.

A vezető döntése

A vezető profitmaximalizáló kibocsátása ennek az egyenletnek a megoldásával egyenlő:

${\frac {\partial P(y_{v}+y_{k}(y_{v}))}{\partial y_{v}}}\cdot y_{v}+P(y_{v}+y_{k}(y_{v}))-MC_{v}(y_{v})=0$

Helyettesítsük be a reakciófüggvényt:

${\frac {\partial P(y_{v}+480-{\frac {1}{2}}\cdot y_{v})}{\partial y_{v}}}\cdot y_{v}+P(y_{v}+480-{\frac {1}{2}}\cdot y_{v})-MC_{v}(y_{v})=0$
${\frac {\partial P({\frac {1}{2}}\cdot y_{v}+480)}{\partial y_{v}}}\cdot y_{v}+P({\frac {1}{2}}\cdot y_{v}+480)-MC_{v}(y_{v})=0$

Helyettesítsük be az inverz keresleti függvényt és a határköltséget:

${\frac {\partial (200-{\frac {1}{8}}\cdot ({\frac {1}{2}}\cdot y_{v}+480))}{\partial y_{v}}}\cdot y_{v}+200-{\frac {1}{8}}\cdot ({\frac {1}{2}}\cdot y_{v}+480)-70=0$
${\frac {\partial (140-{\frac {1}{16}}\cdot y_{v})}{\partial y_{v}}}\cdot y_{v}+70-{\frac {1}{16}}\cdot y_{v}=0$

A bal oldalon lévő derivált $-{\frac {1}{16}}$-dal egyenlő:

$-{\frac {1}{16}}\cdot y_{v}+70-{\frac {1}{16}}\cdot y_{v}=0$

Amiből:

${\begin{matrix}70={\frac {1}{8}}\cdot y_{v}\\560=y_{v}\end{matrix}}$

Az egyensúly

A vezető vállalat profitmaximalizáló kibocsátása tehát 560 gombóc fagylalt hetente. A követőé pedig 200 gombóc, mert

$y_{k}(y_{v})=480-{\frac {1}{2}}\cdot y_{v}=480-{\frac {1}{2}}\cdot 560=200.$

Látható, hogy a vezető és a követő vállalat kibocsátása – ezáltal pedig a piaci részesedésük, „hatalmuk” – között lényeges eltérés van. Ez két okkal magyarázható:

1. a vezető vállalat abból eredő „pluszhatalmával”, hogy tudja, hogy a követő ismerni fogja a kibocsátását, így közvetve ő dönthet y_k-ról is;
2. a követő vállalat magasabb költségeivel.

Belátható, hogy ha a két vállalat határköltsége egyenlő volna, akkor a vezető kibocsátása éppen kétszerese lenne a követőének.

A piaci árat az összkibocsátásnak az inverz keresleti függvénybe való helyettesítésével kaphatjuk meg:

$p=P(760)=200-{\frac {1}{8}}\cdot 760=105$

A versenyzői piaccal való összehasonlítás

Ha a fagylalt piacát tökéletes verseny jellemezné, akkor az egyensúlyi ár-kibocsátás kombináció a piaci keresleti függvény és a határköltséggörbe metszéspontjában lenne. (Versenyzői piacon a kínálati függvény egybeesik a határköltség görbéjével.) A versenyző vállalatok határköltsége 70 forint lenne, mert a versenyzői piacon minden információ nyilvános, így hosszú távon minden vállalat a kisebb költségű alapanyag-beszerzésre állna át.

Tegyük egyenlővé az inverz keresleti függvényt és a határköltséget:

${\begin{matrix}P(y)=MC(y)\\200-{\frac {1}{8}}\cdot y=70\\y=1040\end{matrix}}$

Az ár pedig a határköltséggel, vagyis 70-nel lenne egyenlő.

Hasonlítsuk össze az összkibocsátást és az árat Stackelberg-duopólium, illetve versenyzői piac esetén:

	Stackelberg-duopólium	Versenyzői piac
Összkibocsátás	760	1040
Ár	105	70

Látszik, hogy Stackelberg-duopólium esetén a kibocsátás alacsonyabb, az ár pedig magasabb, mint a versenyzői piacon. A Stackelberg-duopólium a tökéletes versenyhez képest a javak kevésbé hatékony elosztását tudja csak biztosítani.

Viszont az is belátható, hogy a Stackelberg-duopólium hatékonyabb, mint a Cournot-duopólium és a monopólium.

A hatékonyságveszteség számszerűen is kifejezhető, ha meghatározzuk az úgynevezett holtteherveszteséget, a vásárlók kieső fogyasztói többletének és a vállalatok kieső termelői többletének összegét. A holtteherveszteség képlete, ha a keresleti és a határköltségfüggvény is lineáris:

$HTV={\frac {\Delta p\cdot \Delta y}{2}}$

$\Delta p\,$ a Stackelberg-duopólium és a versenyzői piac árának különbségét, $\Delta y\,$ pedig a két kibocsátás különbségét jelöli. Jelen esetben:

$HTV={\frac {(105-70)\cdot (1040-760)}{2}}={\frac {35\cdot 280}{2}}=4900$

A Stackelberg-modellből eredő heti holtteherveszteség tehát példánkban 4900 forint.

A Stackelberg-játék extenzív alakja (a számok a fenti példából származnak)

A Stackelberg-duopólium mint játék

A Stackelberg-duopóliumot a játékelmélet olyan tökéletes információs játékként fogja fel, amelyben a két játékos a vezető és a követő vállalat. Elsőként a vezető lép, megválasztva kibocsátási szintjét, majd a követő van soron, aki, miután megfigyelte a vezető döntését, határoz a saját kibocsátásáról. Ezután a játékosok megkapják a kifizetéseiket (a profitjukat), és a játéknak vége. A Stackelberg-egyensúly a játék tiszta stratégiákon alapuló Nash-egyensúlya lesz.

Irodalom

• Robert Gibbons: Bevezetés a játékelméletbe. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005.
• Hal R. Varian: Mikroökonómia középfokon. Egy modern megközelítés. KJK-KERSZÖV Jogi és Üzleti Kiadó, Budapest, 2003.