Szürjekció

A matematikában ráképezésnek vagy szürjekciónak, illetve szürjektív leképezésnek vagy szürjektív függvénynek nevezzük azokat a leképezéseket, illetve függvényeket, amelyeknél a leképezés [függvény] értékkészlete megegyezik a leképezés [függvény] érkezési halmazával, azaz egy $\phi :A\to B$ leképezés [függvény] pontosan akkor ráképezés, ha minden $b\in B$ elemnek létezik őse a $\phi$ leképezés [függvény] mellett.

Szürjektív leképezés Injektív és szürjektív leképezés Nem szürjektív leképezés Szürjektív leképezésszorzat: a szorzat első tényezőjének nem kell szürjektívnek lennie

Definíció

Legyenek $A,B$ tetszőleges halmazok és $f:A\to B$ képező leképezés. Akkor mondjuk, hogy $f$ szürjekció, ha minden $b\in B$-re létezik $a\in A$ úgy, hogy $f(a)=b$.

Példák

• Definíció szerint minden bijektív leképezés szürjektív.
• Az f: R → R, f(x) = 2x + 1 függvény is szürjektív, mert minden y valós számra létezik olyan x (jelesül (x = y - 1) / 2), hogy f(x) = y.
• Az $\ln :(0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R}$ természetes alapú logaritmus függvény szürjektív.
• Az f: Z → {0,1,2,3}, f(x) = x mod 4 függvény szürjektív.

Tulajdonságok

• Ha az $f,g$ leképezések szürjektívek, akkor a kompozíciójuk is szürjektív leképezés.
• Ha az $g\circ f$ függvénykompozíció szürjektív leképezés, akkor a $g$ leképezés szürjekció.
• Ha $X,Y$ véges halmazok és $|X|=|Y|$, továbbá $f:X\to Y$ leképezés, akkor a következő állítások ekvivalensek:

1. $f$ bijekció.
2. $f$ szürjekció.
3. $f$ injekció.

Végtelen halmazokra az előző állítás nem marad érvényben. Például az $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,f(n)=n+1$ leképezés injektív de nem szürjektív. A $g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,g(n)=|n-2|$ leképezés szürjektív de nem injektív.

Lásd még

• Injektív leképezés
• Bijekció

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

További információk

• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik