Szürjekció

A matematikában ráképezésnek vagy szürjekciónak, illetve szürjektív leképezésnek vagy szürjektív függvénynek nevezzük azokat a leképezéseket, illetve függvényeket, amelyeknél a függvény (vagy leképzeés) értékkészlete megegyezik a függvény érkezési halmazával, azaz egy $\phi :A\to B$ függvény pontosan akkor ráképezés, ha minden $b\in B$ elemnek létezik őse a $\phi$ függvény mellett.

Szürjektív leképezés Injektív és szürjektív leképezés Nem szürjektív leképezés Szürjektív leképezésszorzat: a szorzat első tényezőjének nem kell szürjektívnek lennie

Definíció

Legyenek $A,\,B$ tetszőleges halmazok és $f:A\to B$ függvény. Akkor mondjuk, hogy $f$ szürjekció, ha minden $b\in B$-re létezik $a\in A$ úgy, hogy $f(a)=b$.

Példák

• Definíció szerint minden bijektív leképezés szürjektív.
• Az $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto 2x+1$ függvény is szürjektív, mert minden y valós számra létezik olyan x (jelesül $x={\frac {y-1}{2}}$), hogy $f(x)=y$.
• Az $\ln :(0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R}$ természetes alapú logaritmus függvény szürjektív.
• Az $f:\mathbb {Z} \to \{0,1,2,3\},x\mapsto x\mapsto x{\pmod {4}}$ függvény szürjektív.

Tulajdonságok

• Ha az $f,g$ függvények szürjektívek, akkor a kompozíciójuk is szürjektív függvény.
• Ha az $g\circ f$ függvénykompozíció szürjektív leképezés, akkor a $g$ függvény szürjekció.
• Ha $X,Y$ véges halmazok és $|X|=|Y|$, továbbá $f:X\to Y$ függvény, akkor a következő állítások ekvivalensek:

1. $f$ bijekció.
2. $f$ szürjekció.
3. $f$ injekció.

Végtelen halmazokra az előző állítás nem marad érvényben. Például az $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n\mapsto n+1$ leképezés injektív de nem szürjektív. A $g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,n\mapsto |n-2|$ leképezés szürjektív de nem injektív.

Lásd még

• Injektív leképezés
• Bijekció

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

További információk

• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik