Szűrő (matematika)

A halmazelméletben szűrőnek (vagy idegen szóval filternek) nevezzük egy halmaz részhalmazainak olyan családját, amely nemüres, felszálló és a véges metszet képzésére zárt. A szűrőket széles körben alkalmazza a topológia, és kézenfekvő általánosításuk van a hálóelméletben.

DefinícióSzerkesztés

Legyen   egy nemüres halmaz, jelölje   a   halmaz összes részhalmazának halmazát, és legyen  .   tehát   részhalmazainak egy családja.   szűrő a   halmazon, ha eleget tesz az alábbi feltételeknek.

  1.   nemüres:  
  2.   felszálló, azaz   és   esetén  .
  3.   zárt a véges metszet képzésére, azaz   esetén  

Példák szűrőkreSzerkesztés

Triviális példa szűrőre a fenti   hatványhalmaz.

Szűrőt alkot a számegyenes összes olyan részhalmaza, amely tartalmazza a [0,1] intervallumot.

Tekintsük a természetes számok olyan részhalmazait, amik az alaphalmazból véges számú elem elhagyásával keletkeznek. Ezek a halmazok szintén szűrőt alkotnak.

ForrásokSzerkesztés

Steen, Lynn A., J. Arthur Seebach. Counterexamples in Topology, Second edition (angol nyelven), New York: Springer-Verlag (1978). ISBN 0-387-90312-7