Főmenü megnyitása

A középiskolai fizikában és analízsben a vektort úgy definiáltuk mint nagysággal ellátott irányultságot. A pozíció fogalma sehol nem jelenik ebben a definícióban.

(A fenti fogalom a szabad vektornak felel meg)

A pozíció hozzáadásával kapjuk a kötött vektorok fogalmát. Ha egy vektor és pedig egy pont akkor, jelölje azt a kötöttvektort, amely a vektorhoz és a ponthoz tartozik.

Legyen most egy sima (végtelenszer deriválható) függvény, amely a valós síkot képzi le a valós számegyenesre. Ekkor minden -hez vehetjük az iránymenti deriváltját abban a pontban, tetszőleges irány mentén. Például ha adottak az koordináták akkor jelöli iránymenti deriváltját a pontban az növekvő irányába. Ha az x csökkenő irányába akarjuk venni az iránymenti deriváltat akkor ez .

Sőt vehetünk tetszőleges irányultságot, például úgy, hogy veszünk egy tetszőleges kötött vektort -ben; ekkor ehhez tartozik egy iránymenti deriváltja -ben, amelynek iránya megegyezik a kötött vektor irányával. Vagyis a pontban x növekvő irányában való irányított derivált vétele megegyezik a operátor/művelet alkalmázásával a függvényen. Az ellentétes irányban vett deriváltot a művelet alkalmazása adja. Egy lépésel továbbmenve azt mondhatjuk, hogy a kötött vektorok és az iránymenti deriváltak ugyanazt a dolgot jelentik. Ez elsőre lehet, hogy meglepp, de ez csak annyit jelent, hogy minden kötött vektorhoz tartozik egy iránymenti derivált amelynek ugyanaz az iránya és a nagysága. Ha egy síkon vagyunk akkor -t -nek feleltethetjük meg míg -t -ként azonosíthatjuk.

A transzponáltakat azért használjuk, hogy a kötött vektorokat oszlopmátrixok reprezentálják. Így a sorvektorokat alkalmazhatjuk rájuk egy baloldali szorzással. Ez gyakorlatilag a skalárszorzatnak felel meg. Vagyis a sorvektorokat tekinthetjük úgy, min lináris függvényeket, amelyek leképezik az oszlopvektorokat a valós számok terére. Ezeket a lineáris függvényeket a tér egy ponjához kötni (lásd Duális tér), mint ahogy tettük ezt a kötött vektorokkal így kaptuk a kotangens vektorokat. A síkon azokat a kotangesvektorokat amelyekre teljesül, hogy illetve úgy jelüljük hogy:

A vektormező elve a többváltozós analízisben a legjobban a kötött vektorokkal érthető meg. Ugyanis a fentiek alapján a vektormező egyszerűen csak egy függvény ami a pontjaihoz az adott ponthoz tartozó kötött vektort rendeli hozzá. Hasonlóan az 1-differenciális alak úgy definiálható mint egy függvény ami a ami a pontjaihoz az adott pontbeli kotengens vektort rendeli. Például a: függvény egy 1-differenciális alak. Így egyszerűen csak egy 1-differnciál alak ami minden pontot leképez a kotangensvektorra amely kielégíti a egyenletet és minden Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle v_p\not\in\left<\left.\frac{\partial}{\partial x}\right|_p\right>-re.}

Hogyan értelmezhető ez úgy mint infinitezimális?

Úgy, hogy egy függvény amely az adott pont elmozdulása esetén megváltozásával egyenlő, vagyis egy kötött vektorokon értelmezett függvény.

Határozatlan integrál Késztetést érezhetünk arra, hogy csak azt mondjuk, hogy , de ennek a jelentése nem lenne jól definniált. Jelölje a feletti k-differnciál alakok által alkotott teret . Ha , akkor valamely -ra, de ekkor az is teljesül, hogy: . Vagyis nincs egyértelmű k-differenciális leképezés -ra.