Szerkesztő:Cvbncv/Kramers–Kronig-relációk

A Kramers–Kronig-relációk olyan matematikai összefüggések, amelyek kapcsolatot teremtenek a felső félsíkban analitikus függvények valós és képzetes részei között. Gyakorlati jelentőségét az adja, hogy segítségével például fizikai rendszerek válaszának komplex része ismeretében a valós (illetve fordítva: a valós rész ismeretében a komplex) meghatározható, aminek számos alkalmazása van elsősorban az optika és az anyagtudományok terén.

Tétel

Legyen $\chi (\omega )=\chi '(\omega )+i\chi ''(\omega )$ a komplex $\omega$ komplex függvénye, ahol $\chi '(\omega )$ és $\chi ''(\omega )$ valósak. Legyen a függvény holomorf a felső félsíkban, és $|\omega |\rightarrow \infty$ esetén legalább olyan gyorsan tartson nullához, mint $1/|\omega |$. (Ennél kissé egyhébb feltételekkel is kimondható.) Ekkor:

$\chi '(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi ''(\omega )}{\omega '-\omega }}d\omega '$, és

$\chi ''(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi '(\omega )}{\omega '-\omega }}d\omega '$.

A fenti relációk azt fejezik ki, hogy az így meghatározott $\chi (\omega )$ komplex függvény valós és képzetes része összefügg, azaz pusztán az egyik részből a másik felírható..