Szerkesztő:Tacsipacsi/Lax-Friedrichs módszer

A Lax–Friedrichs módszer, Peter Lax és Kurt O. Friedrichs nevükhöz fűződik, ez egy numerikus módszer, amely megoldása a hiperbólikus parciális differenciál egyenlet, ami a véges differenciálon alapúl. A módszert le lehet írni, mint FTCS program|FTCS (időfüggő,térben központú) mesterséges viszkozitású és 1/2 távolságú. A Lax–Friedrichs módszer egyik formája a Godunov sémának, ami megold egy Riemann problémát a mesterséges viszkozitással együtt.

Egy lineáris probléma ábrája

szerkesztés

Adott egy egy dimmenziós,hiperbolikus lineáris parciális differenciál egyenlet minek jelölése   :

 

értelmezve a

 

és kezdeti feltétele

 

peremfeltételek

 
 

Ha az értelmezett tartomány   hogy a rácson elosztott pontok távolsága   és a   és idő szempontjából   és   közt , meghatározzuk

 

ahol

 

a rács számát az egész számok halmazán értelmezzük. A Lax-Friedrichs módszer a problémák megoldását a következő parciális differenciálegyenlettel adja meg:

 

Vagy, megoldva a következő egyenletet  

 

Ha a kezdeti értékek és a csomópontok a következők:

 
 
 

Kiterjesztés nemlineáris problémákra

szerkesztés

A nemlineáris hiperbolikus megmaradási törvény, a fluxus függvényében  :

 

Abban az esetben  , akkor ez a lineáris probléma adott. Nem felejtve, hogy ,   egy vektor   az egyenletekben. Álltalánosítva a Lax-Friederichs eljárás a nemlineáris rendszerekre a következő :[1]

 

Stabilitás és pontosság

szerkesztés

Ez egy explicit módszer és első közelítésben az időhöz másodikban a térhez, ami   eléggé sima lesz. Ilyen feltételek mellett a módszer a következő:

 
  1. LeVeque, Randy J. Numerical Methods for Conservation Laws", Birkhauser Verlag, 1992, p. 125.