Szerkesztő:Tacsipacsi/Lax-Friedrichs módszer

A Lax–Friedrichs módszer, Peter Lax és Kurt O. Friedrichs nevükhöz fűződik, ez egy numerikus módszer, amely megoldása a hiperbólikus parciális differenciál egyenlet, ami a véges differenciálon alapúl. A módszert le lehet írni, mint FTCS program|FTCS (időfüggő,térben központú) mesterséges viszkozitású és 1/2 távolságú. A Lax–Friedrichs módszer egyik formája a Godunov sémának, ami megold egy Riemann problémát a mesterséges viszkozitással együtt.

Egy lineáris probléma ábrája

Adott egy egy dimmenziós,hiperbolikus lineáris parciális differenciál egyenlet minek jelölése $u(x,t)$ :

$u_{t}+au_{x}=0\,$

értelmezve a

$b\leq x\leq c,\;0\leq t\leq d$

és kezdeti feltétele

$u(x,0)=u_{0}(x)\,$

peremfeltételek

$u(b,t)=u_{b}(t)\,$

$u(c,t)=u_{c}(t).\,$

Ha az értelmezett tartomány $(b,c)\times (0,d)$ hogy a rácson elosztott pontok távolsága $\Delta x$ és a $x$ és idő szempontjából $\Delta t$ és $t$ közt , meghatározzuk

$u_{i}^{n}=u(x_{i},t^{n}){\text{ with }}x_{i}=b+i\,\Delta x,\,t^{n}=n\,\Delta t{\text{ for }}i=0,\ldots ,N,\,n=0,\ldots ,M,$

ahol

$N={\frac {c-b}{\Delta x}},\,M={\frac {d}{\Delta t}}$

a rács számát az egész számok halmazán értelmezzük. A Lax-Friedrichs módszer a problémák megoldását a következő parciális differenciálegyenlettel adja meg:

${\frac {u_{i}^{n+v1}-{\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\,\Delta x}}=0$

Vagy, megoldva a következő egyenletet $u_{i}^{n+1},$

$u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})-a{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n})\,$

Ha a kezdeti értékek és a csomópontok a következők:

$u_{i}^{0}=u_{0}(x_{i})$

$u_{0}^{n}=u_{b}(t^{n})$

$u_{N}^{n}=u_{c}(t^{n}).$

Kiterjesztés nemlineáris problémákra

A nemlineáris hiperbolikus megmaradási törvény, a fluxus függvényében $f$:

$u_{t}+(f(u))_{x}=0.$

Abban az esetben $f(u)=au$, akkor ez a lineáris probléma adott. Nem felejtve, hogy , $u$ egy vektor $m$ az egyenletekben. Álltalánosítva a Lax-Friederichs eljárás a nemlineáris rendszerekre a következő :

$u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})-{\frac {\Delta t}{2\,\Delta x}}(f(u_{i+1}^{n})-f(u_{i-1}^{n})).$

Stabilitás és pontosság

Ez egy explicit módszer és első közelítésben az időhöz másodikban a térhez, ami $u_{0}(x),\,u_{b}(t),\,u_{c}(t)$ eléggé sima lesz. Ilyen feltételek mellett a módszer a következő:

$\left|a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1.$