Szerkesztő:Tacsipacsi/Lax-Friedrichs módszer
A Lax–Friedrichs módszer, Peter Lax és Kurt O. Friedrichs nevükhöz fűződik, ez egy numerikus módszer, amely megoldása a hiperbólikus parciális differenciál egyenlet, ami a véges differenciálon alapúl. A módszert le lehet írni, mint FTCS program|FTCS (időfüggő,térben központú) mesterséges viszkozitású és 1/2 távolságú. A Lax–Friedrichs módszer egyik formája a Godunov sémának, ami megold egy Riemann problémát a mesterséges viszkozitással együtt.
Egy lineáris probléma ábrája
szerkesztésAdott egy egy dimmenziós,hiperbolikus lineáris parciális differenciál egyenlet minek jelölése :
értelmezve a
és kezdeti feltétele
peremfeltételek
Ha az értelmezett tartomány hogy a rácson elosztott pontok távolsága és a és idő szempontjából és közt , meghatározzuk
ahol
a rács számát az egész számok halmazán értelmezzük. A Lax-Friedrichs módszer a problémák megoldását a következő parciális differenciálegyenlettel adja meg:
Vagy, megoldva a következő egyenletet
Ha a kezdeti értékek és a csomópontok a következők:
Kiterjesztés nemlineáris problémákra
szerkesztésA nemlineáris hiperbolikus megmaradási törvény, a fluxus függvényében :
Abban az esetben , akkor ez a lineáris probléma adott. Nem felejtve, hogy , egy vektor az egyenletekben. Álltalánosítva a Lax-Friederichs eljárás a nemlineáris rendszerekre a következő :[1]
Stabilitás és pontosság
szerkesztésEz egy explicit módszer és első közelítésben az időhöz másodikban a térhez, ami eléggé sima lesz. Ilyen feltételek mellett a módszer a következő:
- ↑ LeVeque, Randy J. Numerical Methods for Conservation Laws", Birkhauser Verlag, 1992, p. 125.