A térgörbe olyan görbe, melynek pontjai a háromdimenziós térben helyezkednek el. Matematikailag leírható az

alakú vektor-skalár függvénnyel, ahol , , és az x,y és z irányú egységvektor. Leírható még az

paraméteres egyenletrendszerrel vagy két felület metszésvonalaként, azaz egy

egyenletrendszerrel.

ÉrintőSzerkesztés

 
S-simulósík, N-normálsík, R-rektifikáló sík, t-érintő, n-főnormális, b-binormális, g-simuló kör

A vektor-skalár függvény első deriváltja:

 

A t paraméter felfogható úgy is, hogy az a görbén valamilyen menetrend szerint végigfutó pont mozgása közben mérhető időt jelenti. Ha ráadásul olyan a „menetrend” hogy a sebesség abszolút értéke állandó és egységnyi, akkor a t paraméter jelentése a görbe menti ívhossz (út). Ekkor az

  a sebességvektor, az
  pedig a gyorsulásvektor.

Az érintő irányú egységvektor a fentiek alapján:

 

A görbeszakasz ívhosszaSzerkesztés

A görbeszakasz ívhossza a   idő alatt befutott távolság:

 

SimulósíkSzerkesztés

A   gyorsulásvektor általában általános helyzetű vektor, mely felbontható érintő irányú (pályamenti gyorsulás) és arra merőleges (centripetális gyorsulás) komponensre. Ha a sebesség (azaz a helyvektor idő szerinti első deriváltja) állandó, pályamenti gyorsulás nincs, ekkor a gyorsulás merőleges az érintőre. Ha a   paraméter megegyezik az   ívhosszal, akkor a deriválást pont helyett vesszővel jelöljük a továbbiakban. Ebben az esetben írható, hogy

 

és ha ennek az egyenletnek mindkét oldalát deriváljuk, akkor a

 

Látható, hogy a két vektor skaláris szorzata nulla, ez csak akkor lehetséges, ha merőlegesek egymásra. Az   és   által meghatározott síkot simulósíknak hívják.

Főnormális, binormális, kísérő triéderSzerkesztés

A   binormális a simulósíkra az érintési pontban állított egységnyi hosszúságú merőleges vektor:

 

A gyorsulás irányú egységvektor az   főnormális vektor, ez merőleges az érintő és binormális által meghatározott, úgynevezett rektifikáló síkra:

 

A  ,   és   egységvektorok egymásra merőlegesek, szokásos elnevezésük: kísérő triéder vagy kísérő háromél.

A főnormális és binormális vektornak csak akkor van értelme, ha  , vagyis, ha a görbe nem egyenes.

Görbület, torzióSzerkesztés

A görbület az érintő irányváltozásának sebessége. Kiszámítása:

 .

A görbületi sugár a görbület reciproka:

 .

A simulókör a simulósíkban helyezkedik el, amint az ábra mutatja.

A torzió vagy csavarodás a simulósík elfordulásának sebessége. Kiszámítása:

 .

ForrásokSzerkesztés

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091

Külső hivatkozásokSzerkesztés