A térgörbe olyan görbe , melynek pontjai a háromdimenziós térben helyezkednek el. Matematikailag leírható az
r
=
r
(
t
)
=
x
(
t
)
i
+
y
(
t
)
j
+
z
(
t
)
k
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} \,}
alakú vektor -skalár függvénnyel, ahol
i
{\displaystyle \mathbf {i} \,}
,
j
{\displaystyle \mathbf {j} \,}
, és
k
{\displaystyle \mathbf {k} \,}
az x,y és z irányú egységvektor. Leírható még az
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
,
z
=
z
(
t
)
{\displaystyle x=x(t),~~y=y(t),~~z=z(t)\,}
paraméteres egyenletrendszerrel vagy két felület metszésvonalaként, azaz egy
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
,
G
(
x
,
y
,
z
)
=
0
{\displaystyle F(x,y,z)=0,~~G(x,y,z)=0\,}
egyenletrendszerrel.
S-simulósík, N-normálsík, R-rektifikáló sík, t-érintő, n-főnormális, b-binormális, g-simuló kör
A vektor-skalár függvény első deriváltja:
r
˙
(
t
)
=
x
˙
(
t
)
i
+
y
˙
(
t
)
j
+
z
˙
(
t
)
k
{\displaystyle \mathbf {\dot {r}} (t)={\dot {x}}(t)\mathbf {i} +{\dot {y}}(t)\mathbf {j} +{\dot {z}}(t)\mathbf {k} \,}
A t paraméter felfogható úgy is, hogy az a görbén valamilyen menetrend szerint végigfutó pont mozgása közben mérhető időt jelenti. Ha ráadásul olyan a „menetrend” hogy a sebesség abszolút értéke állandó és egységnyi, akkor a t paraméter jelentése a görbe menti ívhossz (út). Ekkor az
r
˙
(
t
)
=
v
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {\dot {r}} (t)=\mathbf {v} (t)\,}
a sebességvektor, az
r
¨
(
t
)
=
a
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} (t)=\mathbf {a} (t)\,}
pedig a gyorsulásvektor.Az érintő irányú egységvektor a fentiek alapján:
t
=
r
˙
(
t
)
∣
r
˙
(
t
)
∣
{\displaystyle \mathbf {t} ={\frac {\mathbf {\dot {r}} (t)}{\mid \mathbf {\dot {r}} (t)\mid }}\,}
A görbeszakasz ívhossza Szerkesztés
A görbeszakasz ívhossza a
t
{\displaystyle t\,}
idő alatt befutott távolság:
s
=
∫
t
1
t
2
∣
r
˙
(
t
)
∣
d
t
=
∫
t
1
t
2
x
˙
2
(
t
)
+
y
˙
2
(
t
)
+
z
˙
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mid \mathbf {\dot {r}} (t)\mid dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}(t)+{\dot {y}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)}}dt\,}
A
r
¨
(
t
)
{\displaystyle {\ddot {r}}(t)\,}
gyorsulásvektor általában általános helyzetű vektor, mely felbontható érintő irányú (pályamenti gyorsulás) és arra merőleges (centripetális gyorsulás) komponensre. Ha a sebesség (azaz a helyvektor idő szerinti első deriváltja) állandó, pályamenti gyorsulás nincs, ekkor a gyorsulás merőleges az érintőre. Ha a
t
{\displaystyle t\,}
paraméter megegyezik az
s
{\displaystyle s\,}
ívhosszal, akkor a deriválást pont helyett vesszővel jelöljük a továbbiakban. Ebben az esetben írható, hogy
(
r
′
(
s
)
)
2
=
1
{\displaystyle (\mathbf {r'(s)} )^{2}=1\,}
és ha ennek az egyenletnek mindkét oldalát deriváljuk, akkor a
2
r
′
(
s
)
r
″
(
s
)
=
0
{\displaystyle 2\mathbf {r'(s)} \mathbf {r''(s)} =0\,}
Látható, hogy a két vektor skaláris szorzata nulla, ez csak akkor lehetséges, ha merőlegesek egymásra.
Az
r
′
{\displaystyle r'\,}
és
r
″
{\displaystyle r''\,}
által meghatározott síkot simulósík nak hívják.
Főnormális, binormális, kísérő triéder Szerkesztés
A
b
{\displaystyle \mathbf {b} \,}
binormális a simulósíkra az érintési pontban állított egységnyi hosszúságú merőleges vektor:
b
=
r
˙
×
r
¨
∣
r
˙
×
r
¨
∣
=
r
′
×
r
″
∣
r
′
×
r
″
∣
{\displaystyle \mathbf {b} ={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\times {\ddot {\mathbf {r} }}}{\mid {\dot {\mathbf {r} }}\times {\ddot {\mathbf {r} }}\mid }}={\frac {\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}{\mid \mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''\mid }}\,}
A gyorsulás irányú egységvektor az
n
{\displaystyle \mathbf {n} \,}
főnormális vektor, ez merőleges az érintő és binormális által meghatározott, úgynevezett rektifikáló síkra :
n
=
b
×
t
=
r
″
∣
r
″
∣
{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {b} \times \mathbf {t} ={\frac {\mathbf {r} ''}{\mid \mathbf {r} ''\mid }}\,}
A
t
{\displaystyle \mathbf {t} \,}
,
n
{\displaystyle \mathbf {n} \,}
és
b
{\displaystyle \mathbf {b} \,}
egységvektorok egymásra merőlegesek, szokásos elnevezésük: kísérő triéder vagy kísérő háromél .
A főnormális és binormális vektornak csak akkor van értelme, ha
r
″
≠
0
{\displaystyle \mathbf {r} ''\neq 0\,}
, vagyis, ha a görbe nem egyenes.
A görbület az érintő irányváltozásának sebessége. Kiszámítása:
g
=
lim
Δ
s
→
0
Δ
α
Δ
s
=∣
r
″
(
s
)
∣=
∣
r
˙
×
r
¨
∣
∣
r
˙
∣
3
{\displaystyle g=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}}=\mid \mathbf {r} ''(s)\mid ={\frac {\mid {\dot {\mathbf {r} }}\times {\ddot {\mathbf {r} }}\mid }{\mid {\dot {\mathbf {r} }}\mid ^{3}}}\,}
.A görbületi sugár a görbület reciproka:
ρ
=
1
g
{\displaystyle \rho ={\frac {1}{g}}\,}
.A simulókör a simulósíkban helyezkedik el, amint az ábra mutatja.
A torzió vagy csavarodás a simulósík elfordulásának sebessége. Kiszámítása:
c
=
lim
Δ
s
→
0
Δ
β
Δ
s
=
−
n
b
′
(
s
)
=
r
′
r
″
r
‴
∣
r
′
×
r
″
∣
2
{\displaystyle c=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta \beta }{\Delta s}}=-\mathbf {n} \mathbf {b} '(s)={\frac {\mathbf {r} '\mathbf {r} ''\mathbf {r} '''}{\mid \mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''\mid ^{2}}}}
.
Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091