Térgörbe

A térgörbe olyan görbe, melynek pontjai a háromdimenziós térben helyezkednek el. Matematikailag leírható az

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} \,$

alakú vektor-skalár függvénnyel, ahol $\mathbf {i} \,$, $\mathbf {j} \,$, és $\mathbf {k} \,$ az x,y és z irányú egységvektor. Leírható még az

$x=x(t),~~y=y(t),~~z=z(t)\,$

paraméteres egyenletrendszerrel vagy két felület metszésvonalaként, azaz egy

$F(x,y,z)=0,~~G(x,y,z)=0\,$

egyenletrendszerrel.

Érintő

S-simulósík, N-normálsík, R-rektifikáló sík, t-érintő, n-főnormális, b-binormális, g-simuló kör

A vektor-skalár függvény első deriváltja:

$\mathbf {\dot {r}} (t)={\dot {x}}(t)\mathbf {i} +{\dot {y}}(t)\mathbf {j} +{\dot {z}}(t)\mathbf {k} \,$

A t paraméter felfogható úgy is, hogy az a görbén valamilyen menetrend szerint végigfutó pont mozgása közben mérhető időt jelenti. Ha ráadásul olyan a „menetrend” hogy a sebesség abszolút értéke állandó és egységnyi, akkor a t paraméter jelentése a görbe menti ívhossz (út). Ekkor az

$\mathbf {\dot {r}} (t)=\mathbf {v} (t)\,$ a sebességvektor, az

$\mathbf {\ddot {r}} (t)=\mathbf {a} (t)\,$ pedig a gyorsulásvektor.

Az érintő irányú egységvektor a fentiek alapján:

$\mathbf {t} ={\frac {\mathbf {\dot {r}} (t)}{\mid \mathbf {\dot {r}} (t)\mid }}\,$

A görbeszakasz ívhossza

A görbeszakasz ívhossza a $t\,$ idő alatt befutott távolság:

$s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\mid \mathbf {\dot {r}} (t)\mid dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}(t)+{\dot {y}}^{2}(t)+{\dot {z}}^{2}(t)}}dt\,$

Simulósík

A ${\ddot {r}}(t)\,$ gyorsulásvektor általában általános helyzetű vektor, mely felbontható érintő irányú (pályamenti gyorsulás) és arra merőleges (centripetális gyorsulás) komponensre. Ha a sebesség (azaz a helyvektor idő szerinti első deriváltja) állandó, pályamenti gyorsulás nincs, ekkor a gyorsulás merőleges az érintőre. Ha a $t\,$ paraméter megegyezik az $s\,$ ívhosszal, akkor a deriválást pont helyett vesszővel jelöljük a továbbiakban. Ebben az esetben írható, hogy

$(\mathbf {r'(s)} )^{2}=1\,$

és ha ennek az egyenletnek mindkét oldalát deriváljuk, akkor a

$2\mathbf {r'(s)} \mathbf {r''(s)} =0\,$

Látható, hogy a két vektor skaláris szorzata nulla, ez csak akkor lehetséges, ha merőlegesek egymásra. Az $r'\,$ és $r''\,$ által meghatározott síkot simulósíknak hívják.

Főnormális, binormális, kísérő triéder

A $\mathbf {b} \,$ binormális a simulósíkra az érintési pontban állított egységnyi hosszúságú merőleges vektor:

$\mathbf {b} ={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\times {\ddot {\mathbf {r} }}}{\mid {\dot {\mathbf {r} }}\times {\ddot {\mathbf {r} }}\mid }}={\frac {\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}{\mid \mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''\mid }}\,$

A gyorsulás irányú egységvektor az $\mathbf {n} \,$ főnormális vektor, ez merőleges az érintő és binormális által meghatározott, úgynevezett rektifikáló síkra:

$\mathbf {n} =\mathbf {b} \times \mathbf {t} ={\frac {\mathbf {r} ''}{\mid \mathbf {r} ''\mid }}\,$

A $\mathbf {t} \,$, $\mathbf {n} \,$ és $\mathbf {b} \,$ egységvektorok egymásra merőlegesek, szokásos elnevezésük: kísérő triéder vagy kísérő háromél.

A főnormális és binormális vektornak csak akkor van értelme, ha $\mathbf {r} ''\neq 0\,$, vagyis, ha a görbe nem egyenes.

Görbület, torzió

A görbület az érintő irányváltozásának sebessége. Kiszámítása:

$g=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}}=\mid \mathbf {r} ''(s)\mid ={\frac {\mid {\dot {\mathbf {r} }}\times {\ddot {\mathbf {r} }}\mid }{\mid {\dot {\mathbf {r} }}\mid ^{3}}}\,$.

A görbületi sugár a görbület reciproka:

$\rho ={\frac {1}{g}}\,$.

A simulókör a simulósíkban helyezkedik el, amint az ábra mutatja.

A torzió vagy csavarodás a simulósík elfordulásának sebessége. Kiszámítása:

$c=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta \beta }{\Delta s}}=-\mathbf {n} \mathbf {b} '(s)={\frac {\mathbf {r} '\mathbf {r} ''\mathbf {r} '''}{\mid \mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''\mid ^{2}}}$.

Források

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091

Külső hivatkozások

• Dr. Gáspár Csaba:Térgörbék
• Liegner Nándor: Vasúti görbület-átmeneti geometriák és alkalmazásuk