Többszörösen tökéletes számok

A számelméletben a többszörösen tökéletes szám (multiply perfect number, multiperfect number vagy pluperfect number) a tökéletes szám fogalmának általánosítása.

Legyen k és n pozitív egész szám. Az n szám akkor és csak akkor k-tökéletes (vagy k-szorosan tökéletes), ha pozitív osztóinak összege, tehát az osztóösszeg σ(n) = k · n; egy szám tehát akkor tökéletes, ha 2-tökéletes. A k-tökéletes számokat (különösen k>2-re) többszörösen tökéletes számoknak nevezzük. 2014-es adat szerint k=1 és k=11 között ismerünk k-tökéletes számokat.^[1]

Beláthatók a következők:

Ha p prímszám, n p-tökéletes és p nem osztója n-nek, akkor pn (p+1)-tökéletes. Ebből az is következik, hogy n akkor és csak akkor olyan 3-tökéletes szám, ami 2-vel osztható, de 4-gyel nem, ha n/2 páratlan tökéletes szám – amilyenből egyetlen sem ismert.
Ha 3n 4k-tökéletes és 3 nem osztója n-nek, akkor n 3k-tökéletes.

A legkisebb k-tökéletes számok szerkesztés

A következő táblázat bemutatja a legkisebb k-tökéletes számokat k ≤ 11 -ig (A007539 sorozat az OEIS-ben):

k	A legkisebb k-tökéletes szám	Megtalálója	Vélhetően mindet megtalálták?^[1]	Becsült számuk^[1]
1	1	ókori	igen, bizonyítottan	1
2	6 = 2¹ · 3¹	ókori	nem, végtelen sok van	∞
3	120 = 2³ · 3¹ · 5¹	ókori	igen	6
4	30240 = 2⁵ · 3³ · 5¹ · 7¹	René Descartes, 1638 körül	igen	36
5	14182439040 = 2⁷ · 3⁴ · 5¹ · 7¹ · 11² · 17¹ · 19¹	René Descartes, 1638 körül	igen	65
6	154345556085770649600 = 2¹⁵ · 3⁵ · 5² · 7² · 11¹ · 13¹ · 17¹ · 19¹ · 31¹ · 43¹ · 257¹	Robert Daniel Carmichael, 1907	igen	245
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 = 2³² · 3¹¹ · 5⁴ · 7⁵ · 11² · 13² · 17¹ · 19¹ · 23¹ · 31¹ · 37¹ · 43¹ · 61¹ · 71¹ · 73¹ · 89¹ · 181¹ · 2141¹ · 599479¹	TE Mason, 1911	csaknem biztosan	~515
8	≈2,34111439263306338... · 10¹⁶¹	Paul Poulet, 1929^[1]	talán igen	~1140
9	≈7,9842491755534198... · 10⁴⁶⁵	Fred Helenius^[1]	nem	~2200
10	≈2,86879876441793479... · 10⁹²³	Ron Sorli^[1]	nem	~4500
11	≈2,51850413483992918... · 10¹⁹⁰⁶	George Woltman^[1]	nem	~10 000

Például a 120 3-tökéletes, mert 120 osztóinak összege
1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 · 120.

A k-tökéletes számok sorozata szerkesztés

Az alábbi táblázat bemutatja a k-tökéletes számok sorozatait k=6-ig.

k	Az első néhány k-szorosan tökéletes szám	OEIS
2	6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, ...	A000396
3	120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160, ...	A005820
4	30240, 32760, 2178540, 23569920, 45532800, 142990848, ...	A027687
5	14182439040, 31998395520, 518666803200, 13661860101120, ...	A046060
6	154345556085770649600, 9186050031556349952000, 680489641226538823680000, ...	A046061

Tulajdonságok szerkesztés

Az X-nél kisebb többszörösen tökéletes számok darabszáma $o(X^{\epsilon })$ minden pozitív ε-ra.^[2]
Az egyetlen ismert többszörösen tökéletes szám az 1.

A k egyes értékei szerkesztés

Tökéletes számok szerkesztés

Bővebben: tökéletes számok

Az olyan n számok, amikre σ(n) = 2n, tökéletes számok.

3-tökéletes számok szerkesztés

Az olyan n számok, amikre σ(n) = 3n, 3-tökéletesek (triperfect). Egy páratlan 3-tökéletes számnak legalább 10⁷⁰-nek kellene lennie, legalább 12 különböző prímtényezővel, melyek legnagyobbika meghaladja a 10⁵-t.^[3]

6-tökéletes számok szerkesztés

Az ismert értékei itt találhatók. Valószínűleg a számuk véges, és a lista teljes.

Jegyzetek szerkesztés

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Flammenkamp
↑ Sándor et al (2006) p.105
↑ Sandor et al (2006) pp.108–109

Flammenkamp, Achim: The Multiply Perfect Numbers Page. (Hozzáférés: 2014. január 22.)
(1986) „Measuring the abundancy of integers”. Mathematics Magazine 59, 84–92. o. ISSN 0025-570X.
Kishore, Masao (1987). „Odd triperfect numbers are divisible by twelve distinct prime factors”. J. Aust. Math. Soc. Ser. A 42 (2), 173–182. o. DOI:10.1017/s1446788700028184. ISSN 0263-6115.
(1999) „Problem 10617 (Divisors of sums of divisors)”. Am. Math. Monthly 106, 693. o.
(2000) „The abundancy ratio, a measure of perfection”. Math. Mag. 73, 307–310. o.
Sorli, Ronald M. (2003), Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers, <http://hdl.handle.net/2100/275>
(2003) „A simpler dense proof regarding the abundancy index”. Math. Mag. 76, 299–301. o.
Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2
(2008) „Odd multiperfect numbers of abundancy 4”. J. Number Theory 126, 1566–1575. o. DOI:10.1016/j.jnt.2007.02.001.
Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag (2006). ISBN 1-4020-4215-9
Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic, 32–36. o. (2004). ISBN 1-4020-2546-7

További információk szerkesztés

[fl-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Flammenkamp

[HBI105-2] Sándor et al (2006) p.105

[3] Sandor et al (2006) pp.108–109

[1]

[2]

[3]