A kalkulusban a Taylor-tétel egy módszert ad arra miként lehet közelítést adni egy n-ed fokú polinommal bármely függvényre egy tetszőlegesen kiválasztott "a" kezdőpontból kiindulva. A kezdőponttól távolodva a közelítés egyre pontatlanabb lesz, a pontatlanság mértékére egy R maradéktagból következtethetünk.
Taylor tétel egyváltozós valós értékekre
szerkesztés
Legyen az F függvény meghatározva így:
F
(
y
)
=
f
(
y
)
+
(
x
−
y
)
⋅
f
(
y
)
′
+
.
.
.
+
(
x
−
y
)
n
n
!
⋅
f
(
y
)
n
′
{\displaystyle {{F}_{\left(y\right)}}={{f}_{\left(y\right)}}+\left(x-y\right)\cdot f_{\left(y\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-y\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n'}}
A függvény "a" és "x" pontbeli értékeiből adódik:
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
(
x
−
a
)
⋅
f
(
a
)
′
+
.
.
.
+
(
x
−
a
)
n
n
!
⋅
f
(
a
)
n
′
+
(
F
(
x
)
−
F
(
a
)
)
{\displaystyle {{f}_{\left(x\right)}}={{f}_{\left(a\right)}}+\left(x-a\right)\cdot f_{\left(a\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(a\right)}^{n'}+\left({{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}\right)}
A függvény deriváltjaként
F
(
y
)
′
=
[
f
(
y
)
′
]
+
[
−
1
⋅
f
(
y
)
′
+
(
x
−
y
)
⋅
f
(
y
)
″
]
+
.
.
.
+
[
−
(
x
−
y
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
⋅
f
(
y
)
n
′
+
(
x
−
y
)
n
n
!
⋅
f
(
y
)
n
+
1
′
]
{\displaystyle F_{\left(y\right)}^{'}=\left[{\cancel {f_{\left(y\right)}^{'}}}\right]+\left[{\cancel {-1\cdot f_{\left(y\right)}^{'}}}+{\cancel {\left(x-y\right)\cdot f_{\left(y\right)}^{''}}}\right]+...+\left[{\cancel {-{\frac {{\left(x-y\right)}^{n-1}}{\left(n-1\right)!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n'}}}+{\frac {{\left(x-y\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n+1'}\right]}
egyszerúsítés után egy rövidebb formát kapunk:
F
(
y
)
′
=
(
x
−
y
)
n
n
!
⋅
f
(
y
)
n
+
1
′
{\displaystyle F_{\left(y\right)}^{'}={\frac {{\left(x-y\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n+1'}}
vagyis F kifejezhető a következő határozatlan integrállal is:
F
(
y
)
=
∫
(
x
−
y
)
n
⋅
f
(
y
)
(
n
+
1
)
′
n
!
d
y
{\displaystyle {{F}_{\left(y\right)}}=\int {{\frac {{{\left(x-y\right)}^{n}}\cdot f_{\left(y\right)}^{\left(n+1\right)'}}{n!}}dy}}
amit a fentiekbe behelyettesítve: kapjuk a Taylor tétel Integtrál alakját:
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
(
x
−
a
)
⋅
f
(
a
)
′
+
.
.
.
+
(
x
−
a
)
n
n
!
⋅
f
(
a
)
n
′
+
∫
a
x
(
x
−
y
)
n
⋅
f
(
y
)
(
n
+
1
)
′
n
!
d
y
{\displaystyle {{f}_{\left(x\right)}}={{f}_{\left(a\right)}}+\left(x-a\right)\cdot f_{\left(a\right)}^{'}+...+{\frac {{\left(x-a\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(a\right)}^{n'}+\int \limits _{a}^{x}{{\frac {{{\left(x-y\right)}^{n}}\cdot f_{\left(y\right)}^{\left(n+1\right)'}}{n!}}dy}}
A maradék közelítő értéke
szerkesztés
A Cauchy-féle középértéktétel t
F
(
x
)
−
F
(
a
)
=
(
G
(
x
)
−
G
(
a
)
)
⋅
F
(
c
)
′
G
(
c
)
′
{\displaystyle {{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}=\left({{G}_{\left(x\right)}}-{{G}_{\left(a\right)}}\right)\cdot {\frac {F_{\left(c\right)}^{'}}{G_{\left(c\right)}^{'}}}}
F
(
y
)
{\displaystyle {{F}_{\left(y\right)}}}
G
(
y
)
=
f
(
y
)
n
′
{\displaystyle {{G}_{\left(y\right)}}=f_{\left(y\right)}^{n'}}
R
=
F
(
x
)
−
F
(
a
)
=
(
f
(
x
)
n
′
−
f
(
a
)
n
′
)
⋅
(
x
−
c
)
n
n
!
⋅
f
(
c
)
n
+
1
′
f
(
c
)
n
+
1
′
=
(
x
−
c
)
n
n
!
⋅
(
f
(
x
)
n
′
−
f
(
a
)
n
′
)
{\displaystyle R={{F}_{\left(x\right)}}-{{F}_{\left(a\right)}}=\left(f_{\left(x\right)}^{n'}-f_{\left(a\right)}^{n'}\right)\cdot {\frac {{\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(c\right)}^{n+1'}}{f_{\left(c\right)}^{n+1'}}}={\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot \left(f_{\left(x\right)}^{n'}-f_{\left(a\right)}^{n'}\right)}
kapjuk a maradék egy más fajta alakját:
R
=
(
x
−
c
)
n
n
!
⋅
(
f
(
x
)
n
′
−
f
(
a
)
n
′
)
{\displaystyle R={\frac {{\left(x-c\right)}^{n}}{n!}}\cdot \left(f_{\left(x\right)}^{n'}-f_{\left(a\right)}^{n'}\right)}
mejnek segítségvel megadható a maradék közelítő értéke amikor "
n
{\displaystyle {n}}
f
(
x
)
n
−
ε
+
1
′
,
f
(
x
)
n
+
1
′
,
f
(
x
)
n
+
ε
+
1
′
≠
0
{\displaystyle f_{\left(x\right)}^{n-\varepsilon +1'},f_{\left(x\right)}^{n+1'},f_{\left(x\right)}^{n+\varepsilon +1'}\neq 0}
R
=
lim
n
→
∞
1
1
∑
i
=
n
+
1
n
+
ε
(
x
−
a
)
i
⋅
f
(
a
)
i
′
i
!
−
1
∑
i
=
n
−
ε
+
1
n
(
x
−
a
)
i
⋅
f
(
a
)
i
′
i
!
{\displaystyle R={\underset {n\to \infty }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {1}{{\frac {1}{\sum \limits _{i=n+1}^{n+\varepsilon }{\frac {{{\left(x-a\right)}^{i}}\cdot f_{\left(a\right)}^{i'}}{i!}}}}-{\frac {1}{\sum \limits _{i=n-\varepsilon +1}^{n}{\frac {{{\left(x-a\right)}^{i}}\cdot f_{\left(a\right)}^{i'}}{i!}}}}}}}
ε
=
1
,
2...
{\displaystyle \varepsilon =1,2...}
![{\displaystyle F_{\left(y\right)}^{'}=\left[{\cancel {f_{\left(y\right)}^{'}}}\right]+\left[{\cancel {-1\cdot f_{\left(y\right)}^{'}}}+{\cancel {\left(x-y\right)\cdot f_{\left(y\right)}^{''}}}\right]+...+\left[{\cancel {-{\frac {{\left(x-y\right)}^{n-1}}{\left(n-1\right)!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n'}}}+{\frac {{\left(x-y\right)}^{n}}{n!}}\cdot f_{\left(y\right)}^{n+1'}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf5d3d3eaee49a08d2981678d8c22025bf44caa)
