Viviani-tétel

Viviani tétele szerint egy szabályos háromszög minden belső pontjának az oldalaktól való távolságösszege egyenlő a szabályos háromszög magasságával. Nevét felfedezője,^[forrás?] Vincenzo Viviani olasz matematikus és fizikus után kapta.

Az s + u + t összeg a nagy háromszög magasságával egyenlő.

Bizonyítása

Legyen a háromszög oldalhossza a, és legyen egy tetszőleges P pont a háromszög belsejében. A csúcsokkal összekötve három háromszögre bontja a szabályos háromszöget, melyek összege a szabályos háromszög területe:

T_ABP + T_BCP + T_CAP = T_ABC

A T = m·a/2 képletet felhasználva (ahol m a magasság, a az alap hossza):

s·a/2 + u·a/2 + t·a/2 = m·a/2

a/2-vel való egyszerűsítés után:

s + u + t = m

Megfordítása

Egy lehetséges megfordítás: ha egy háromszög belsejében az oldalaktól való távolságösszeg állandó, akkor a háromszög szabályos.

Általánosítások

Lényegében ezzel a gondolatmenettel belátható szabályos tetraéderre az állítás, illetve négyszög esetén paralelogrammára.

Irodalom

• Bérczi Sz. (1991): Kristályoktól bolygótestekig. Akadémiai Kiadó, Budapest, (ISBN 963-05-5842-4)
• Bérczi Sz. (2001): Kis Atlasz a Naprendszerről (1): Planetáris és anyagtérképek holdkőzetekről, meteoritekről. UNICONSTANT. Püspökladány (ISBN 963-00-6314-X Ö, ISBN 963 00 6315 8)

Források

• Viviani-tétel