Yablo-paradoxon

A Yablo-paradoxon (vagy más néven: ω-hazug, angolul: ω-liar) az ősi és hírhedt hazugparadoxon egy variánsa.

Steve Yablo dolgozta ki a hazugparadoxon olyan módosítását, amely elkerüli az önreferenciát (és bármiféle referenciális kör lehetőségét), ami mindaddig szükséges feltételeként volt elkönyvelve minden logikai és szemantikai paradoxonnak. Az ω-hazug legegyszerűbb esete a következő kijelentésekből álló végtelen sorozat:

1. A következő mondatok mindegyike hamis.
2. A következő mondatok mindegyike hamis.
3. A következő mondatok mindegyike hamis.

…

Hogyan áll elő a körmentes paradoxon?

A levezetés egyszerűsítése kedvéért formalizáljuk a végtelen mondathalmazt (egy 'T' igazságpredikátum bevezetésével):

s₁ ∀k k>1 ∼T(s_k)

s₂ ∀k k>2 ∼T(s_k)

s₃ ∀k k>3 ∼T(s_k)

…

s_n ∀k k>n ∼T(s_k), ahol n∈ $\scriptstyle {\mathbb {N} }$

1. feltételezzük a sorozat bármely elemének (S_n) igaz voltát: egy mondat akkor igaz, ha a valóságban fennáll a benne állított tény (ld.Tarski-séma). Ez ebben az esetben az, hogy minden n-nél nagyobb k-ra: S_k hamis. (Például S_n+1 hamis.) De akkor minden n+1-nél nagyobb k-ra is S_k hamis, ami viszont pontosan az a tényállás, ami S_n+1-ben foglaltatik. Ebből következik – a T-séma bijektív mivolta miatt –, hogy S_n+1 igaz. Ellentmondás: a kiinduló feltétel nem stimmel.
2. ezek szerint minden n-re: S_n hamis (mivel előző feltevésünkben n tetszőleges volt). Ezzel a tényállással viszont a sorozat minden elemének igazság feltétele kielégül, tehát minden n-re S_n igaz. Ellentmondás.

A Yablo-paradoxon jelentősége

Azt a széles körben elterjedt nézetet, miszerint minden logikai és/vagy halmazelméleti paradoxonban centrális szerepet játszik valamiféle önreferencia vagy körkörösség, leglátványosabban a Yablo-paradoxon cáfolja. Yablo előtt sem volt kétséges, hogy az önreferencia nem elégséges feltétele a paradoxonoknak. Ehhez elég volt felmutatni egy olyan önreferens mondatot (vagy egymásra referáló mondathalmazt), amiben nincs ellentmondás. Például ilyen a

1. Ez a mondat hat szóból áll.

vagy a

1. A következő mondat az előtte levőre referál.
2. Az előző mondat a utána levőre referál.

mondatpár. Úgy tűnik, ezekben az esetekben azért nincs ellentmondás, mert a mondatok igazságfeltételei meghatározhatók anélkül, hogy ehhez eleve figyelembe kéne venni igazságértéküket. Tehát az, hogy magában a referenciális körök nem eredményeznek paradoxont, egyértelműnek látszik. Ami viszont új Yablo cikkében, az az, hogy a körkörösség nem is szükséges feltétele egy paradoxon előállásának. A természetes számoknak megfeleltetett végtelen mondatsorozat mindegyik eleme az utána következő mindegyik elemre referál. Így – például az első Peano-posztulátum miatt – biztosítva van a körmenetesség. Ha tehát igaz lenne az a – részben Russell és Tarski kutatásai nyomán elterjedt – nézet, hogy minden paradoxonban valamilyen központi szerepet játszik a körkörösség, akkor a fenti mondathalmaznak ellentmondásmentesnek kéne lennie. De a hazughoz hasonló paradox jelleg megmaradt, mint fent láttuk.

Kimutatható, hogy a paradoxon némi módosítással előáll Tarski metanyelvi struktúrájában is. Tarski erőfeszítése tehát sikeres volt abban, hogy elméletével feloldja az egyszerű hazugparadoxont, ami lehetetlen módon egy nyelven belül próbálja saját igazságfogalmát megadni, de nem tudta kizárni a paradoxonokat általában.

Yablo paradoxona után tehát másfelé kell keresni a paradoxonok közös okát és mibenlétét, ha egyáltalán van ilyen közös alapjuk a paradoxonoknak.

A paradoxon kivédési lehetőségei és az azokra adott válaszok

Tényleg nincs körkörösség a Yablo paradoxonban?

Priest veti fel azt a problémát, hogy bár látszatra nincs körben forgás a Yablo-mondatokban, valójában mindegyik ugyanaz az a mondat (s), így amit állít, az csak annyi, hogy „s nem igaz”. Ami önreferens állítás. Elfogadható, hogy mindegyik mondat ugyanolyan szerkezetű, amennyiben mindegyik az összes rákövetkezőre referál. Ez az azonosság azonban nem szükséges a paradoxon előálltához, így a lényeget nem érinti. A paradoxonhoz pusztán az szükséges, hogy végtelen mondathalmaz legyen. Differenciálhatjuk mondatainkat például úgy, hogy mindegyikbe beiktatunk véges sok kivételt, amikre a mondat nem referál, például így:

• s_n: ∀k(kivéve: k=4,5,6;vagy k=2n etc.) k>n ∼T(s_k)

Ekkor s_n referátumait tartalmazó halmaz számosságára azt mondjuk, hogy ko-véges, azaz komplementere véges elemű (míg ebben az esetben ő maga végtelen). De differenciálhatjuk mondatainkat más módon is, például diszjunkcióval hozzá csatolhatunk tetszőleges ellentmondást:

• s_n: A következő mondatok mindegyike hamis vagy 1≠1.

Az ω-hazug nem analogonja a klasszikus hazugnak

Hardy a következő kifogás elé állítja Yablo-t: egy végtelen mondat sorozat nem lehet analóg a klasszikus Hazuggal, mert míg az utóbbi paradox voltának feltárása egy elsőrendű levezetést igényel, a Yablo bizonyítása végtelen sok T-séma alkalmazását igényelné, a Yablo-mondathalmaz ω-inkonzisztens, nem úgy mint a Hazug.

Ezt a különbözőséget gyengíthetjük egy indirekt, végtelen Hazug megkonstruálásával:

1. A lista tagjai közül egy hamis.
2. 2=2
3. 3=3
4. …

Ahhoz, hogy az első mondat Hazug-mondattá „alakuljon”, elengedhetetlen, hogy minden utána következő mondat igazságáról meggyőződjünk. Még ha elég is egy pillantás ehhez, végtelenszer még egy pillantás is végtelen ideig tart, így az a lehetőség, hogy egyenként végignézzük, ki van zárva. Marad tehát egy ugyanolyan omega-szabály alkalmazása, mint amilyenre a Yablónál van szükség. Az indirekt, végtelen Hazug a híd tehát a klasszikus Hazug és a Yablo-paradoxon között: esszenciális eleme mind az előbbi önreferenciája, mind pedig az utóbbihoz szükséges omega-szabály. A klasszikus Hazug-mondat végtelen változata is megalkotható egy mondatban, hogy a hasonlóságot megőrizzük. Ehhez egy végtelen tagból álló diszjunkciót kell vennünk, ahol mindegyik tag a maga hamisságát állítja: „Vagy ez a tag hamis, vagy ez…” De a Hardy által hiányolt összehasonlíthatósághoz szükséges hasonlóságot még tovább növelhetjük, ha megalkotjuk a diszjunktív-Yablo-paradoxont ekképpen: „Az összes következő tag hamis vagy az összes következő tag hamis vagy……” Tehát az indirekt, végtelen, önreferenciális Hazug így már nyilvánvalóan összehasonlítható annak Yablo-hasonmásával.

A paradoxon kiterjesztése mint módszer

Kicsit továbbgondolva felfogható a Yablo-paradoxon egy módszerként is arra nézve, hogy egy tetszőleges paradoxonból elimináljuk az önreferenciát. Ha létrehozható volna egy standard formalizációja minden önreferenciális rejtvénynek, egy Yablo-algoritmus automatikus lefuttatásával véghez is vihetnénk az összes ilyen paradoxon-transzformációt. Sajnos (vagy nem sajnos) azonban ilyen standardizáció nem lehetséges a rejtvények sokszínűsége miatt.

Azonban egyes paradoxonok „yablósításának” is vannak áldásos következményei, amennyiben ezzel lerombolhatjuk azt az illúziót, hogy a logika elméletében (vagy legalább részelméleteiben) sikerült elérni egy konzisztens, ellentmondásmentes apparátust.

Ahogyan maga a Yablo-paradoxon komolyan gyengítette Tarski metanyelv/tárgynyelv elméletéhez fűzött reményeket, úgy teszi kérdésessé Russell típuselméletét egy másik – halmazelméleti – paradoxon yablósított változata. Russell – Tarskihoz hasonlóan – egy végtelen hierarchia létrehozásával akarta kiküszöbölni az olyan konstrukciók létezését, mint a Russell-halmaz, arra hivatkozva, hogy a hibás kör elve nem sérülhet, azaz egyetlen halmaznak sem lehet olyan eleme, aminek meghatározásának egyetlen módjához már eleve feltételeznem kell a halmazt (elemeivel együtt).

Yablo módszerét alkalmazva azonban Russell hasonlóképpen jár, mint Tarski: a típuselmélet megmentette a Russell-paradoxontól, de nem a paradoxonoktól általában.

Mirimanoff paradoxonjának variánsa az, ami a Hibás Kör elvének megsértése nélkül is paradox marad Russell típuselméletében.

Az eredeti paradoxon röviden: jólfundált-e a minden jólfundált halmazt tartalmazó halmaz? A válasz első intuícióra: igen, hiszen (per definitionem) egyetlen eleméből sem indulhat ki egy végtelen ∈-lánc, hiszen mind jólfundált. Ha viszont e halmaz jólfundált, akkor eleme önmagának (hiszen minden jólfundált halmazt tartalmaznia kell halmazunknak), ami viszont azonnal eredményezi 'nemjólfundáltságát' . Ellentmondás.

Russell típuselmélete (a Russell-paradoxonhoz hasonlóan) megoldotta a Mirimanoff-paradoxont is, azáltal, hogy ilyen halmaz nem létezik (mivel eleme önmagának). Az „ω-Mirimanoff”-ban azonban egyetlen olyan halmaz sem szerepel, ami tartalmazná önmagát, viszont a „minden n. szintű jólfundált halmaz” halmazából (ami a fenti érvelés szerint maga is jólfundált kell hogy legyen) kiindul egy végtelen ∈-lánc, jelesül az egyre lejjebbi szinteken érvényesülő „minden n-k. szintű jól-fundált halmaz” halmazaiból.

Kapcsolódó szócikkek

• Cantor-paradoxon

Források

• Priest, G. 1997: "Yablo's Paradox". Analysis, 57, pp. 236–42.
• Sainsbury, R.M., 2002. Paradoxonok, Typotex kiadó
• Hardy, James 1995: "Is Yablo's Paradox Liar-like?". Analysis, 55, pp. 197–8.

Külső hivatkozások

• S. Yablo: Paradox without Self-Reference (a szerző honlapján)
• S. Yablo: Circularity and Paradox (a szerző honlapján)
• R. A. Sorensen: Yablo's Paradox and kindred infinite liars: Stephen Yablo (findarticles.com)
• A paradoxon a Foundations of Mathematics levelezőlistán (next… next… next…)