Üres összeg

Nem tévesztendő össze a következővel: Zéró összegű játszma.

A matematikában az üres összeg, tagok nélküli összeg vagy nulláris összeg a tagok nélküli összeadás végeredménye. Megegyezés alapján az üres összeg értéke 0, avagy az additív egységelem, hasonlóan ahhoz, ahogy az üres szorzat értéke megegyezik a multiplikatív egységelemmel (azaz 1-gyel).^[1]^[2]^[3]

Tekintsük az a₁, a₂, a₃ ... számsorozatot, és legyen

s_{m}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}=a_{1}+\ldots +a_{m}

a sorozat első m tagjának összege. Ekkor

s_{m}=a_{m}+s_{m-1}

minden m = 1,2,... számra, ha megegyezünk abban, hogy $s_{1}=a_{1}$ és $s_{0}=0$ . Más szavakkal tehát az $s_{1}$ egytagú „összeg” értéke megegyezik az egyetlen taggal, míg a tagok nélküli $s_{0}$ „összeg” értéke 0. A nulla vagy egy tagú „összeg” megengedése számos matematikai képletben lecsökkenti az esetek számát, amivel foglalkozni kell. Az ilyen összegek természetes kiindulási pontjai számos teljes indukciós bizonyításnak és algoritmusnak. Emiatt az „üres összeg értéke 0” elterjedt konvenció a matematikában és a számítógép-programozásban, hasonlóan az „üres szorzat értéke 1” konvencióhoz.

Az „üres összeg” a számokon kívül más halmazokon is definiálható, például vektorok, mátrixok, polinomok esetében, általában valamely Abel-csoportban az üres összeg értéke a csoport zéruseleme.

Az üres összeg definíciójának értelme szerkesztés

Az üres összeg koncepciójának hasznossága koncepcionálisan a 0 és az üres halmaz hasznosságához hasonlítható: bár önmagukban nem túl érdekes fogalmak, létezésük sok matematikai fogalom egyszerűbb kezelését teszi lehetővé.

Példa: üres lineáris kombinációk szerkesztés

A lineáris algebra területén egy V vektortér bázisa egy olyan lineárisan független B részhalmaz, melyre V minden eleme előállítható B-beli lineáris kombinációval. Az üres összeg-konvenció miatt a nulla dimenziós V={0} vektortérnek is van bázisa, méghozzá az üres halmaz.

Kapcsolódó szócikkek szerkesztés

Jegyzetek szerkesztés

↑ Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek. Invitation to Discrete Mathematics. Oxford University Press, 12. o. (1998). ISBN 0-19-850207-9
↑ A.E. Ingham and R C Vaughan. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press, 1. o. (1990). ISBN 0-521-39789-8
↑ Page 9 of Lang, Serge (2002), Algebra, vol. 211 (Revised third ed.), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4

[1] Jaroslav Nešetřil, Jiří Matoušek. Invitation to Discrete Mathematics. Oxford University Press, 12. o. (1998). ISBN 0-19-850207-9

[2] A.E. Ingham and R C Vaughan. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press, 1. o. (1990). ISBN 0-521-39789-8

[3] Page 9 of Lang, Serge (2002), Algebra, vol. 211 (Revised third ed.), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4

[1]

[2]

[3]