2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A 2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát (1960) Romániában, Sinaiában rendezték. Öt ország negyven versenyzője vett részt rajta. Magyarország két arany-, két ezüstérmet és egy dicséretet szerzett, összpontszámával pedig 2-3. lett az országok között.
(Az elérhető maximális pontszám: 8×45=360 pont volt)

FeladatokSzerkesztés

1.Szerkesztés

Adjuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei négyzetösszegének 11-szeresével.

2.Szerkesztés

Milyen valós  -ekre teljesül a következő egyenlőtlenség:

 .

3.Szerkesztés

Az   derékszögű háromszög   hosszú   átfogóját   egyenlő szakaszra osztottuk (  páratlan pozitív egész). Jelöljük  -val azt a szöget, ami alatt az átfogó felezőpontját tartalmazó szakasz látszik  -ból. Legyen   az átfogóhoz tartozó magasság. Bizonyítsuk be, hogy

 .

4.Szerkesztés

Adott az   háromszög  -ból és  -ből induló   ill.   magassága és az  -ból induló   súlyvonala. Szerkesszük meg a háromszöget.

5.Szerkesztés

Vegyük az   kockát (ahol   pontosan   fölött van).

  Mi a mértani helye az   szakaszok felezőpontjainak, ahol   az  ,   pedig a   lapátló tetszőleges pontja?
  Mi a mértani helye azon   pontoknak, amelyekre teljesül hogy rajta van valamely ilyen   szakaszon úgy, hogy  ?

6.Szerkesztés

Adott egy forgáskúp. Írjunk bele gömböt, majd e gömb köré rajzoljunk hengert úgy, hogy a henger és a kúp alaplapja egy síkba essen. Legyen   a kúp,   a henger térfogata.

  Bizonyítsuk be, hogy  .
  Keressük meg a legkisebb  -t, amire  , majd szerkesszük meg azt a szöget, amelyet   minimumánál a kúp alkotói a tengelyével bezárnak.

7.Szerkesztés

Adott egy szimmetrikus trapéz, amelynek alapja   illetve  , magassága pedig  .

  Szerkesszük meg a szimmetriatengely azon   pontját, amiből a szárak derékszög alatt látszanak.
  Számítsuk ki   távolságát a száraktól.
  Mi a feltétele annak, hogy egyáltalán létezzen ilyen   pont?

Országok eredményei pont szerintSzerkesztés

Ország Pont       D
1.   Csehszlovákia 257 1 1 2 2
2.   Magyarország 248 2 2 0 1
    Románia 248 1 1 1 1
4.   Bulgária 175 0 0 1 2
5.   NDK 38 0 0 0 1
D – dicséret

A magyar csapatSzerkesztés

A magyar csapat tagjai voltak:

Név Évfolyam Iskola Város Díj
Bollobás Béla III. o. Apáczai Csere János Gyakorlógimn. Budapest  
Mezei Ferenc IV. o. II. Rákóczi Ferenc Gimn. Budapest  
Fritz József III. o. Kossuth Lajos Gimn. Mosonmagyaróvár  
Muszély György IV. o. Vörösmarty Mihály Gimn. Budapest  
Komlós János IV. o. Apáczai Csere János Gyakorlógimn. Budapest dicséret
Gagyi Pálffy András III. o. Széchenyi István Gimn. Budapest
Grűner György III. o. Kossuth Lajos Gimn. Mosonmagyaróvár
Hahn János IV. o. Gépipari Technikum Szeged

A csapat vezetője Hódi Endre volt.

ForrásokSzerkesztés

Reiman IstvánDobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959-2003 Typotex 2003, Budapest (ISBN 963-9548-04-9)

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

További információkSzerkesztés