Főmenü megnyitása

A Beatty-tétel az elemi számelmélet egyik állítása. A tételt Samuel Beatty tűzte ki az American Mathematical Monthly feladat rovatában, 1926-ban.[1][2]

Tartalomjegyzék

A tétel kimondásaSzerkesztés

Legyen t>0 irracionális szám. Ekkor t Beatty-sorozatának nevezzük a

 

számsorozatot, ahol a szögletes zárójel az egészrészt jelöli.

A tétel szerint ha  ,   pozitív irracionális számok, amikre teljesül

 

akkor   és   együtt minden pozitív egész számot pontosan egyszer tartalmazza.

BizonyításokSzerkesztés

Első bizonyításSzerkesztés

Világos, hogy   és   mindketten 1-nél nagyobb számok, ezért  -ban, illetve  -ban nem fordulhat elő egynél többször egy egész szám. Tehát a tétel igazolásához elegendő megmutatnunk, hogy   (1) és   (2). Még megjegyezzük, hogy mivel   és   irracionális, azért   és   sosem egész szám.

(1) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy van olyan n és m, hogy   és   ugyanabba a (k;k+1) intervallumba esik, vagyis

 ,  ,

átosztva

 ,  .

A két egyenlőtlenséget összeadva, és kihasználva a feltételt:

 ,

ami ellentmondás, hisz két szomszédos egész szám közé nem eshet más egész szám.

(2) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy valamely [k;k+1) intervallumba nem esik   és   alakú szám sem. Ilyenkor tehát valamely n-re és m-re fennáll, hogy

 , de  ;

 , de  .

Ismét átosztva és összeadva adódik, hogy

 

és

 .

A kettőt összevetve   adódik, ami ismét ellentmondás.

(1) és (2) belátásával pedig a tétel bizonyítást nyert.

Második bizonyításSzerkesztés

Jelölje valamely N>0 egész számra   azt, hogy 0 és N közé  -nak és  -nak összesen hány többszöröse esik. Ha belátjuk, hogy minden N-re, hogy   (*), akkor az   intervallumban pontosan egy   vagy   alakú szám lehet, így N-et   és   pontosan egyszer tartalmazza.

Könnyen átgondolható, hogy   darab  -többszörös kisebb N-nél, és   darab  -többszörös, ahonnan

 .

Egyfelől, mivel   és   irracionális, így garantáltan

 .

Másrészt, az   becslést felhasználva

 

adódik, így   egész szám lévén csakis   lehet. Ebből pedig (*) leolvasható.

Megjegyzés: utóbbi bizonyításból világosan látható, hogy a tétel megfordítása is igaz.

Mindkét bizonyítás kis módosításával megkaphatjuk a tétel rokon változatát pozitív racionális számokra: ha (m,n)=1 pozitív egészek, akkor a következő   racionális szám közül pontosan egy esik az   intervallumok mindegyikébe:

 ;  .

JegyzetekSzerkesztés

  1. Beatty, Samuel (1926). „Problem 3173” (angol nyelven). American Mathematical Monthly 33 (3), 159. o. DOI:10.2307/2300153.  
  2. S. Beatty, A. Ostrowski, J. Hyslop, A. C. Aitken (1927). „Solutions to Problem 3173” (angol nyelven). American Mathematical Monthly 34 (3), 159–160. o. DOI:10.2307/2298716.  

ForrásokSzerkesztés

  • Alexander Bogomolny, Beatty Sequences, Cut-the-knot
  • Skljarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből I. (Aritmetika és algebra)