Egészrész

A valós számok halmazán értelmezett (alsó) egészrész függvény (jelben ⌊x⌋ vagy [x]) egy valós számnak az adott számnál még nem nagyobb legnagyobb egész számot felelteti meg. Hasonlóan, a felső egészrész függvény (jelben ⌈x⌉) az adott valós számnak az adott számnál még nem kisebb legkisebb egész számot felelteti meg.

A [x] jelölést Gauss vezette be az alsó egészrészre; a ⌊x⌋ és a ⌈x⌉ jelek Kenneth E. Iversontól származnak. A német nyelvben ma is használják a Gauß-Klammer ('Gauss-zárójel') nevet az alsó egészrészre. Az angol nyelvben az alsó egészrész függvény egyik neve az entier function, amiben az entier szó franciául egészet jelent.

Definíciók

Alsó egészrész

Egy x valós számra x alsó egészrésze (vagy egész része) az az egész szám, mely a legnagyobb az x-nél kisebb vagy egyenlő egészek közül:

$\lfloor x\rfloor =\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\},$

Így például $\lfloor 5\rfloor =5,\lfloor -3{,}5\rfloor =-4$.

Felső egészrész

Egy x valós számra x felső egészrésze az az egész szám, mely a legkisebb az x-nél nagyobb vagy egyenlő egészek közül:

$\lceil x\rceil =\min \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.$

Például: $\lceil 3\rceil =3,\lceil -2{,}6\rceil =-2$.

Törtrész

Egy x valós szám törtrésze egészrészétől való távolsága, azaz $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. Nyilván mindig teljesül $0\leq \{x\}<1$.

Példa:

Érték	Alsó egészrész $\lfloor \;\rfloor$	Felső egészrész $\lceil \;\rceil$	Törtrész $\{\;\}$
12/5 = 2,4	2	3	2/5 = 0,4
2.7	2	3	0,7
−2.7	−3	−2	0,3
−2	−2	−2	0

Tulajdonságok

Ekvivalens definíciók

Mivel minden egység hosszú, félig nyílt intervallumban egy egész van, ezért egyértelműen vannak olyan n, 'm egészek, amikre:

$x-1<m\leq x\leq n<x+1.\;$

Ezért

$\lfloor x\rfloor =m\;$  és  $\;\lceil x\rceil =n\;$

az alsó és a felső egészrész ekvivalens definíciója.

Számolás egészrészekkel

A következő formulák segítenek az egészrészt tartalmazó számításokban:

${\begin{aligned}\lfloor x\rfloor =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n&\leq x<n+1,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n-1&<x\leq n,\\\lfloor x\rfloor =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&x-1&<n\leq x,\\\lceil x\rceil =n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&x&\leq n<x+1.\end{aligned}}$

Ezek a képletek a rendezéssel való kapcsolatot mutatják:

${\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ akkor és csak akkor }}&n&\leq \lfloor x\rfloor .\end{aligned}}$

Egész szám hozzáadásának hatása:

${\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}$

Ha n nem egész, akkor a fenti számolások nem igazak:

${\begin{aligned}&\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \;\lfloor x+y\rfloor \;&\leq \;\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\&\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \;\lceil x+y\rceil \;&\leq \;\lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}$

A függvények kapcsolata

A definíciók alapján nyilván

$\lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,$   és egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha x egész, i.e.

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}$

Valóban, ha n egész:

$\lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.$

Az argumentum előjelét megváltoztatva az alsó és felső egészrész függvény megcserélődik, és előjelet vált:

$\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0,$   azaz

$\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}$

$\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

A törtrész argumentumának ellentettjét véve a törtrész a komplementerére változik:

$\{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\mbox{ ha }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ ha }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

A felső, az alsó egészrész és a törtrész idempotens:

${\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\\\end{aligned}}$

A beágyazott alsó, és felső egészrészek eredménye megegyezik a legbelső eredményével:

${\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor .\\\end{aligned}}$

Rögzített y-ra x mod y idempotens:

$(x\,{\bmod {\,}}y)\,{\bmod {\,}}y=x\,{\bmod {\,}}y.\;$

Tehát a definíciók szerint

$\{x\}=x\,{\bmod {\,}}1.\;$

Osztások

Ha n ≠ 0,

$0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.$

Ha n pozitív

$\left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,$

$\left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .$

Ha m pozitív

$n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,$

$n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .$

m = 2-re következik:

$n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .$

Általában, for pozitív m-re:

$\lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,$

$\lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .$

Ezekkel az összefüggésekkel át lehet térni az egyik egészrészről a másikra (m pozitív)

$\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,$

$\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,$

Ha m és n is pozitív, és relatív prímek, akkor

$\sum _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {im}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).$

Mivel a jobb oldal szimmetrikus m-ben és n-ben, következik, hogy

$\left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .$

Általánosabban, ha m és n pozitív,

${\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}$

Pozitív m,n-re, és tetszőleges valós x-re:

$\left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor$

$\left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil$

Jellemzés

Az itt tárgyalt függvények nem folytonosak; az egészrészek és a törtrész szakadási helyei éppen az egész számok. Az x mod y szakadási helyei rögzített y-ra y többszörösei. Nem párosak, és nem páratlanok. Az alsó és a felső egészrész szakaszonként konstans, a törtrész szakaszonként lineáris. Az alsó egészrész jobbról, a felső egészrész balról folytonos. A szakadási helyeken mindkét oldali határérték létezik. A törtrész periodikus, legkisebb periódusa 1.

Mivel ezek a függvények nem folytonosak, nem fejthetők Taylor-sorba. Ezen kívül az egészrészeknek Fourier-sorokkal sem állíthatók elő, mivel nem periodikusak.

Az x mod y Fourier-sora rögzített y-ra:

$x\,{\bmod {\,}}y={\frac {y}{2}}-{\frac {y}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left({\frac {2\pi kx}{y}}\right)}{k}}\qquad {\mbox{ }}x{\mbox{ nem osztható }}y{\mbox{ -nal}}.$

Speciálisan, {x} = x mod 1 Fourier-sora:

$\{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}\qquad {\mbox{ha }}x{\mbox{ nem egész}}.$

A szakadási helyeken a sor értéke a jobb és a bal határérték számtani közepét adja. A folytonossági pontokban a sor a függvényértékhez tart.

Az {x} = x − floor(x), floor(x) = x − {x} kifejezés felhasználásával

$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}\qquad {\mbox{ha }}x{\mbox{ nem egész}}.$

Alkalmazások

mod operátor

A mod operátor így definiálható:

$x\,{\bmod {\,}}y=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor ,$

ahol y ≠ 0.

x mod y csak 0 és y közötti értékeket vesz fel; i.e.

ha y pozitív,

$0\leq x\,{\bmod {\,}}y<y,$

és ha y negatív,

$0\geq x\,{\bmod {\,}}y>y.$

Ha x egész, és y pozitív, akkor

$(x\,{\bmod {\,}}y)\equiv x{\pmod {y}}.$

Rögzített y-ra x mod y grafikonja fűrészfogakra emlékeztet. Innen a név: fűrészfog-függvény.

Kvadratikus reciprocitás

Gauss harmadik bizonyítása a kvadratikus reciprocitásra két lépésből áll.

Legyen p és q két különböző páratlan prím, és legyen

$m={\frac {p-1}{2}},\;\;n={\frac {q-1}{2}}.$

Először a Gauss-lemmával megmutatjuk, hogy a Legendre-szimbólumokra

$\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor }$

és

$\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.$

A második lépés geometriai érvelést használ annak belátására, hogy

$\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.$

Összetéve

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

Ezek a képletek az alsó egészrészt használják a kis számok kvasdratikus jellemzésére a p páratlan prím modulusokra:

$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },$

$\left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.$

Kerekítés

A pozitív számok egészekre kerekítése az $\lfloor x+0{,}5\rfloor .$ függvénnyel, a negatív számoké a $\lceil x-0{,}5\rceil .$ függvénnyel írható le.

Tizedesjegyek levágása

A tizedesjegyek levágása is definiálható az egészrészekkel: nem negatív egészekre $\lfloor x\rfloor .$, és nem pozitív egészekre $\lceil x-1\rceil +1$.

A szignumfüggvény felhasználásával: $\operatorname {sgn}(x)\lfloor |x|\rfloor$

Jegyek száma

Ha k pozitív egész, akkor jegyeinek száma a b alapú számrendszerben:

$\lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1.$

Faktoriálisok prímtényezős felbontása

Legyen n pozitív egész. Ekkor a p prím kitevője n! prímtényezős felbontásában

$\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots$

Ez az összeg véges, mert minden prímre van egy hatvány, ami nagyobb, mint n!.

Beatty-sorozatok

A Beatty-sorozatok megmutatják, hogy az irracionális számok két részre particionálják a természetes számokat az egészrész felhasználásával.

Az Euler-konstans

Több képletben is együtt szerepel a γ = 0,57721 56649... Euler-konstans és valamelyik egészrész:

$\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,$

$\gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),$

és

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots$

Riemann-féle zéta függvény

A törtrész megjelenik a Riemann-féle zéta-függvény integrálos felírásaiban.

Parciális integrálással megmutatható, hogy ha φ(x) folytonosan differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, akkor

${\sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}$

Ha most φ(n) = n^−s, ahol s valós része nagyobb, mint 1, a és b egész, és b tart a végtelenbe, akkor adódik:

$\zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\;dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.$

Ez a képlet minden olyan s-re jó, aminek valós része nagyobb, mint -1, és nem egyenlő eggyel. {x} Fourier-sorának felhasználásával és ezzel az egyenlettel a zéta-függvény kiterjeszthető az egész komplex síkra, az 1 kivételével, ahol is pólusa van.

A kritikus sávban levő s = σ + i t-re

$\zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .$

1947-ben van der Pol ezt a felírást használta a zéta-függvény gyökeinek keresésére készített egy analóg számítógépet.

Prímszámok

n akkor és csak akkor prím, ha

$\sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.$

Legyen r > 1 egész, p_n az n-edik prím, és

$\alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.$

Ekkor

$p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .$

Van egy θ = 1,3064... szám (a Mill-konstans), hogy

$\left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots$

mind prímek.

Van egy ω = 1,9287800... szám is, hogy

$\left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots$

mind prímek.

Jelölje π(x) az x-nél nem nagyobb prímek számát. Ekkor nyílegyenesen következik a Wilson-tételből, hogy:

$\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .$

Tehát, ha n ≥ 2,

$\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .$

Az ebben a szakaszban felsorolt formuláknak nincs gyakorlati alkalmazásuk.

Ramanujan problémái

Srínivásza Rámánudzsan vetette fel ezeket a kérdéseket a Journal of the Indian Mathematical Societynek:

Ha n pozitív egész, akkor:

(I)     $\left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,$

(II)     $\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,$

(III)     $\left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .$

Ezeket az állításokat sikerült belátni.

Megoldatlan kérdések

A Waring-probléma tanulmányozása közben felvetődött a kérdés:

Van-e k, k ≥ 6 egész, hogy

$3^{k}-2^{k}\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor >2^{k}-\left\lfloor \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2\;\;?$

Mahler belátta, hogy csak véges számú megoldás létezhet, de nincs ismert konkrét megoldás.

Források

• ↑ Graham, Knuth, & Patashnik: Ronald L. Graham – Donald E. Knuth – Oren Patashnik: Concrete Mathematics. (angolul) Reading (Massachusetts): Addison–Wesley. 1994. ISBN 0-201-55802-5  
• ↑ Lemmermeyer: Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. (angolul) Berlin: Springer Science+Business Media. 2000. ISBN 3-540-66957-4  
• ↑ Iverson: Kenneth E. Iverson: A Programming Language. (angolul) New York: John Wiley & Sons, Inc. 1962.  
• ↑ Higham: Nicholas J. Higham: Handbook of writing for the mathematical sciences. (angolul) Philadelphia (Pennsylvania): Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 0-89871-420-6  
• ↑ Titchmarsh: Edward Charles Titchmarsh – David Rodney Heath-Brown: The Theory of the Riemann Zeta-function. (angolul) 2. kiadás. Oxford: Oxford University Press. 1986. ISBN 0-19-853369-1  
• ↑ Hardy & Wright: E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. (angolul) 5. kiadás. Oxford: Oxford University Press. 1980. ISBN 978-0-19-853171-5 Hozzáférés: 2022. március 11.  
• ↑ Crandall & Pomerance: Richard Crandall – Carl Promerance: Prime Numbers: A Computational Perspective. (angolul) New York: Springer Science+Business Media. 2001. ISBN 0-387-94777-9 Hozzáférés: 2022. március 11.  
• ↑ Ribenboim: Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. (angolul) New York: Springer Science+Business Media. 1996. ISBN 0-387-94457-5  
• ↑ Ramanujan: Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. (angolul) Providence (Rhode Island): AMS / Chelsea. 2000. ISBN 978-0-8218-2076-6  

További információk

• Floor function (angol nyelven). Encyclopedia of Mathematics. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
• Štefan Porubský: Integer rounding functions (angol nyelven). Cseh Tudományos Akadémia, 2007. április 1. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
• Eric W. Weisstein: Floor function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)
• Eric W. Weisstein: Ceiling function (angol nyelven). MathWorld. (Hozzáférés: 2022. március 11.)