A matematikában a határérték az az érték, amihez „egyre közelebb” kerül egy függvény vagy sorozat értéke, ahogy a függvény bemenete „egyre közelebb” kerül valamely adott véges értékhez vagy végtelenhez, ill. ahogy a sorozat indexe a végtelenhez tart. A matematikai analízis szinte teljes egészében a határérték fogalmára épül, mint például a differenciálszámítás, integrálszámítás esetében. A latin limes (jelentése: határ, mesgye) szóból lim-ként rövidítik matematikai jelölésekben.

A határérték fogalmát a topológia, illetve a kategóriaelmélet eszközeivel általánosabban is meg lehet határozni.

Sorozat határértéke ()Szerkesztés

Az (1,79; 1,799; 1,7999;…) sorozatról intuitívan megállapítható, hogy a számok egyre „közelítenek” 1,8-hez, amennyiben a sorozat minden elemére igaz, hogy az előzőnél eggyel több kilences tizedesjegye van. Ezt az intuitív gondolatot fogalmazza meg formálisan a sorozat határértékének fogalma.

DefinícióSzerkesztés

Legyen adott az ( ) valós számokból álló sorozat. A valós   szám a sorozat határértéke, ha minden   (epszilon)   esetén létezik olyan   (epszilontól függő) természetes szám, melyre minden   esetén  . Jelölése:

  vagy  .

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy tetszőlegesen közel kerül a sorozat eleme a határértékhez azáltal, hogy elég nagy indexű elemet választunk, hiszen az   abszolút érték az   és   távolságaként is felfogható. Ha létezik olyan tulajdonságú   szám, ami a fenti definíciónak megfelel, akkor a sorozatot konvergensnek nevezik, ha pedig nem, akkor divergensnek. Bebizonyítható, hogy legfeljebb egy ilyen szám létezhet, így a   jelölés és a „határérték” megnevezés egyértelmű.

Tétel: Ha   és  , akkor  .

Hasonlóan definiálható a több koordinátával jellemezhető pontsorozatok határértéke.

Tétel: Egy pontsorozat pontosan akkor konvergens, ha az egyes koordinátái által alkotott számsorozatok konvergensek.

Például az   pontsorozat konvergenciája ekvivalens az   és a   sorozatok konvergenciájával.

A sorozat és a függvény határértékének a fogalma szoros kapcsolatban áll egymással. A két fogalom egymás definiálására is felhasználható, de értelmezhetők külön-külön is. Az   sorozat határértékét a pozitív egészek halmazán értelmezett   függvény végtelenben vett határértékeként is definiálhatjuk, míg a függvény határértéke definiálható a sorozat határértékének felhasználásával:   függvény határértéke   helyen akkor létezik, ha az   sorozat konvergens és azonos határértékű bármely olyan   határértékű konvergens sorozat esetén, amely a függvény értelmezési tartományából vesz fel értékeket. Ekkor az   sorozat egyértelmű határértéke lesz a függvény   helyen vett határértéke.

TulajdonságokSzerkesztés

Ha az   és a   valós sorozat is konvergens, akkor az  ,   sorozatok is konvergensek, és határértékük a megfelelő művelettel kapható a határértékekből. Ha a   sorozat véges sok nullát tartalmaz, és nem tart nullához, akkor hasonló teljesül az   sorozatra is. Ezek a pontsorozatokra is érvényesek, ha a műveleteket koordinátánként végezzük.

A konvergens valós szám- és pontsorozatokra teljesül a Cauchy-tulajdonság, ami azt mondja ki, hogy a sorozat távoli elemei is közel vannak egymáshoz. Formálisan, az   sorozat konvergens, ha minden  -hoz van olyan  , hogy minden  -ra  . Megfordítva, minden valós Cauchy-sorozat konvergens. Más terekben ez nem feltétlenül igaz; ahol viszont igen, azt a teret teljesnek mondjuk.

A konvergens sorozatok tulajdonságai kritériumokat adnak arra, hogy belássuk, hogy ha egy sorozat nem konvergens. Szintén vannak kritériumok a sorozat konvergens voltára. Nincs mindig szükség a határérték kiszámítására.

PéldákSzerkesztés

 
 , ha  

Függvényhatárérték ()Szerkesztés

Határérték véges pontbanSzerkesztés

 
Ábra a formális definícióhoz. Véges pontban vett véges határérték

Feltéve, hogy   valós függvény és   valós szám. A

 

kifejezés azt jelenti, hogy   értéke tetszőlegesen közel kerül az  -hoz, ha az   elég közel van  -hoz. Ebben az esetben „az   határértéke, ha   tart  -hoz,  ”. Ez akkor is igaz lehet, ha  , sőt az   függvénynek nem muszáj értelmezve lennie a   pontban.

Formális definícióSzerkesztés

Legyen az   függvény, mely a   egy nyílt környezetében végtelen sok értékre értelmezve van - esetleg  -ban nem - vagyis   egy torlódási pontja a  -nek; és   egy valós szám. A

 

jelölés azt jelenti, hogy minden   érték esetén van olyan  , melyekre bármely   esetén, ha  , akkor  .

PéldákSzerkesztés

Vizsgáljuk meg   határértékét, ha   tart 2-höz. Ebben az esetben az   definiált a 2 helyen, és egyenlő az ottani 0,4 értékével:

f(1,9) f(1,99) f(1,999) f(2) f(2,001) f(2,01) f(2,1)
0,4121 0,4012 0,4001   0,4   0,3998 0,3988 0,3882

Ha   közelít 3-hoz, akkor   közelít 0,3-hez, azaz  . Ezekben az esetekben, amikor  , azt mondjuk, hogy   folytonos az   helyen.

De nem minden függvény folytonos. Legyen például a   függvény az alábbi módon értelmezett:

 

A   határértéke   tart 2 esetén 0,4 (ahogy az   esetén is), de  ;   nem folytonos   helyen.

Függvényhatárérték a végtelenbenSzerkesztés

Van, amikor nem csak a véges helyen vett határértéket kell vizsgálnunk, hanem, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor   tart a pozitív vagy negatív végtelenhez.

Példaként vizsgáljuk az   függvényt.

  •  
  •  
  •  

Ahogy   nagyon naggyá válik,   közelít 2-höz. Ebben az esetben,

 

Formális definícióSzerkesztés

A végtelenben vett határérték definíciója:

  pontosan akkor, ha minden  > 0 esetén létezik olyan   valós szám, melyre   teljesül, ha  .

A negatív végtelenben vett határérték hasonlóan definiálható.

Definíciója topologikus térbenSzerkesztés

FüggvényeknélSzerkesztés

Legyen   és   topologikus tér,  ,   az   torlódási pontja és  . Az   függvény határértéke az   pontban  , ha:

  tetszőleges   környezetéhez található  -nak olyan   környezete, hogy   halmaz   általi képe   környezetébe esik, azaz:
 .

A határérték ezen fogalma annyira általános, hogy adott pontban több határértéke is lehet egy függvénynek. Ugyanis egyes topologikus terek olyan "egyszerűek", hogy bizonyos pontoknak azonosak a környezetei. Más szóval a pontok nem különböztethetőek meg a "szomszédok" által. Fontos tény továbbá, hogy a függvénynek nem kell értelmezve lennie az   pontban, ahol a határértéket vizsgáljuk.

A szakirodalomban szigorúbb változatai is előfordulnak, melyek például megkövetelik, hogy a leképezés   egy teljes környezetében legyen értelmezve, leszámítva esetleg magát  -t ( ), azaz  . Illetve olyan gyengítései is akadnak, amelyek az értelmezési tartomány speciális részhalmazain ( ) határozzák meg a limes-t, azaz  . Ha elvárnánk, hogy a vizsgált pont az értelmezési tartomány eleme legyen ( ) és  , akkor a pontbeli folytonosság topológiai fogalmához lyukadnánk ki.

PontsorozatoknálSzerkesztés

Legyen   topologikus tér,   a tér pontjaiból álló sorozat,   és  . Az   sorozat határérétke  , ha:

  minden   környezetéhez létezik olyan   index, hogy a sorozat minden  -nél nagyobb indexű tagja   környezetébe esik, azaz
 .

Definíciója metrikus térbenSzerkesztés

Metrikus terek esetén, melyek egyben topologikus terek is, a definíció speciálisabban megfogalmazható. Ez esetben rendelkezésünkre áll a távolságfüggvény, amellyel környezetet definiálhatunk.

Függvény határértékeSzerkesztés

Legyen   és   metrikus tér,  ,   az   torlódási pontja,   és  . Az   függvény határértéke az   pontban  , ha:

  minden   sugarú nyílt környezetéhez található  -nak olyan   sugarú nyílt környezete, hogyha  , akkor     általi képe   környezetébe esik, azaz
 ,

ahol:

  •  ,
  •   és
  •   az általános definícióban szereplő környezetek megfelelői,
  •   és   rendre az   és   metrikus térben definiált távolság.

Sorozat határértékeSzerkesztés

Legyen   metrikus tér,  , a tér pontjaiból álló sorozat,   és  . Az   sorozat határértéke  , ha:

  minden   sugarú nyílt környezetéhez található olyan   (epszilontól függő) index, hogy a sorozat minden  -nél nagyobb indexű tagja az   környezetébe esik, azaz
 .

Euklideszi térbenSzerkesztés

Az n-dimenziós vektortéren értelmezett skalárszorzat természetesen módon normát indukál, amellyel metrika, azaz távolság definiálható a téren. Ez teszi az Euklideszi teret topologikus, ill. metrikus térré. A távolságfüggvény:

 , speciálisan:  .

Többdimenziós terekben a határérték számítása gyökös távolságképlettel nehézkes. Könnyítést ad az a tény, hogyha egy pontnak van nyílt gömbkörnyezete, akkor van nyílt téglakörnyezete is és fordítva:

Tétel:  .

Magyarul, egy vektor akkor és csak akkor van közel egy másikhoz, ha külön-külön a koordinátái is közel vannak a másik koordinátáihoz. Így a vektorfüggvények és vektorsorozatok határértéke visszavezethető a koordináta-függvények határértékére.

Definíciója végtelenreSzerkesztés

A fenti definíciók egyike sem mondja meg, mit értünk végtelen határértéken, vagy végtelenben vett határértéken. Nem is határozhatja meg, mert a végtelen egy képzeletbeli pont. Nem része a térnek, míg a határérték és a pont, ahol a határértéket vizsgájuk a tér egy eleme kell hogy legyen. Azonban kiterjeszthetjük úgy a fogalmat, hogy definiáljuk a végtelen egy környezetét, így lehetőségünk nyílik a képzeletbeli pont körül vizsgálódni. Általános topológiai eszközökkel kicsit bonyolult, de normált, s ezáltal egyben metrizálható terekben igen egyszerű.

Végtelen környezeteSzerkesztés

  halmaz a végtelen egy "  sugarú nyílt gömbkörnyezete". (Nyilvánvalóan ez a megfogalmazás matematikailag nem elfogadható, inkább szemléltető jellege van.)

Végtelenben vett határértékSzerkesztés

Legyen   és   normált tér,  , legyen a végtelen   torlódási pontja,  ,   és  . Az   függvény végtelenben vett határértéke  , ha:

  minden   sugarú nyílt környezetéhez található olyan  , hogyha  , akkor     általi képe   környezetébe esik, azaz
 ,

ahol:

  •   és   az X és Y terekben definiált norma.
  • A végtelen torlódási pontja  -nak, ha  .

Ez a definíció konzisztens a sorozatoknál kimondott határérték fogalmával, ugyanis a természetes számok halmaza normált tér és a fenti   lehet teljesen általános topologikus tér is.

Végtelen mint határértékSzerkesztés

Legyen   és   normált tér,  ,   az A torlódási pontja,  ,   és  . Az   függvény határértéke az   pontban végtelen, ha:

minden  -hoz található  -nak olyan   sugarú nyílt környezete, hogyha  , akkor     általi képének normája nagyobb mint  , azaz
 .

Végtelenben vett végtelen határértékSzerkesztés

Értelmezését egyszerűen a két megfogalmazás kombinációja szolgáltatja. Röviden:

 .

Plusz és mínusz végtelenSzerkesztés

Speciális a következő eset: a valós számegyenesből ( ) kivéve egy pontot könnyűszerrel felbontjuk a teret, két diszjunkt és külön-külön összefüggő halmazra. Az intuíciónk pedig az, hogy ezek a halmazok mintha két különböző végtelennek lennének a környezetei. A gondolatmenetet tovább folytatva bármely térben definiálhatnánk egy speciális részhalmazt, hogy a végtelenben vett határérték vizsgálódását ezen részhalmazra leszűkítve végezzük. De   esetén nem szoktunk megkülönböztetni irány szerinti végteleneket.

A valós számegyenesnél a   és a   intervallumok által szűkített végtelenben vett határérték keresése rendre a   és a   határérték fogalmához vezet. Hasonlóan lehet a határérték   is.

Komplex számok esetében sincs  , topológiailag izomorf  -tel. Ez esetben a végtelen pontot szemléletesen definiálhatjuk az úgynevezett Riemann-gömbbel. Ha ennek megfelelően elkészítjük a valós esetre vonatkozó szemléltető kört, akkor a  -ben vett limes-t felfoghatjuk úgy is, mint a végtelenben vett bal és jobb oldali határértéket.

Tétel: Egy  -beli vektorsorozat pontosan akkor tart végtelenbe, ha legalább az egyik koordinátasorozata végtelenbe tart.

Ekkor belátható, hogy a vektor normája is tart végtelenbe. Fordítva, ha a norma tart végtelenbe, akkor legalább egy koordináta abszolút-értéke is végtelenbe kell hogy tartson.

EgyértelműségeSzerkesztés

Fentebb már említésre került, hogy általános topologikus terek között ható függvénynek egy adott pontban, illetve pontsorozatnak létezhet több határértéke is. Ilyenkor a határértékek egy halmazáról, mint megoldásról érdemes beszélni. Ahhoz, hogy egy egyenlőségi formulával adhassuk meg a határértéket, annak egyértelműen kell léteznie. Ez egy speciális térben mindig igaz is:

Hausdorff-tér vagy   tér olyan topologikus tér, amelyben minden pontpárhoz található őket elválasztó diszjunkt környezet.

Tétel: Hausdorff-térben ha létezik határérték, akkor egyértelműen létezik.

Legtöbbször azonban metrikus terekben ( …) lévő pontsorozatokkal és ezen terek között ható függvényekkel ( …) találkozunk és vizsgáljuk határértéküket.

Tétel: Minden metrikus tér egyben Hausdorff-tér is.

Tehát metrikus terekben is egyértelmű a határérték. Értelemszerűen minden metrikus tér egyben topologikus tér is. Pontosabban, természetes módon topologikus térré tehető, ha az  -sugarú nyílt gömbök segítségével definiáljuk a környezeteket.

JelöléseiSzerkesztés

  • általánosan: "limesz iksz tart iksznullba efiksz egyenlő ipszilon"
 
 
  • sorozatoknál: "á n tart ipszilonba ha n tart végtelenbe"
 
 
  • speciális tartományon:
 

Határértéken alapuló definíciókSzerkesztés

Határérték-változatokSzerkesztés

  • Limesz szuperior, inferior:
 
 
  • Parciális limesz:
 , ahol  
  • Bal és jobb oldali határérték:
 
 
  • Végtelenben vett határérték:
 
 
 

Új fogalmak megalapozásaSzerkesztés

 
 
 
 

KonvergenciaSzerkesztés

A fogalom létezésének tényét erősíti, hogy sorozatok esetén egyértelműen mindig a végtelenben vett határértékről beszélünk, így a kérdés leredukálódik a: van-e határértéke vagy sem kérdésre. Olyat nem mondunk, hogy konvergens függvény, vagy a függvény konvergens egy pontban, de egy függvénysorozat lehet az, hiszen az is sorozat.

DefinícióSzerkesztés

Legyen Y topologikus tér,  . Az   sorozatot konvergensnek nevezzük , ha létezik határértéke. Ellenkező esetben, azaz mikor nincs határértéke, divergensnek nevezzük.

Tétel: Metrikus térben konvergens sorozatnak egyértelmű a határértéke.

Hiszen a metrikus tér Hausdorff-tér is, melyben legfeljebb egy határértéke lehet egy sorozatnak.

Fontos megemlíteni, hogy mivel értelmezzük a végtelen határértéket is oda kell figyelnünk, hogy konvergens nem lehet egy sorozat, ha csak végtelen határértéke van, ugyanis az nem eleme a térnek. Hacsak nem a végtelen elemmel bővített halmazzal van dolgunk, vagy nem tágabb értelemben beszélünk konvergenciáról. A tárgyalási módból ki kell derülnie. Ezért találkozhatunk azzal a kifejezéssel, hogy: létezik a határérték és véges.

Cauchy-sorozatSzerkesztés

Legyen Y metrikus tér,  . Az   sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük , ha tetszőlegesen közel kerülnek egymáshoz az elemek, azaz

 .
Tétel: Minden, metrikus térben konvergens sorozat, egyben Cauchy-sorozat is. Megfordítása általánosan nem igaz.

Ha egy sorozat tetszőlegesen megközelíti a határértéket, akkor a sorozat elemei is tetszőlegesen megközelítik egymást.

Teljes térSzerkesztés

Azokat a metrikus tereket, melyekben minden Cauchy-sorozat konvergens, teljesnek nevezzük.

Tétel: Minden metrikus tér teljessé tehető. (Úgy, hogy hozzávesszük azon hipotetikus pontokat, amelyeket a divergens Cauchy-sorozatok kijelölnek.)
Tétel: Az ekludeszi tér   teljes metrikus tér.

Nem teljes tér például  . A sorozat, melynek  . tagja olyan racionális szám, mely a  -t   tizedesjegy pontossággal írja le, határértéke  , de ez nem racionális szám. Természetesen  -ben a sorozat konvergens lenne, illetve Cauchy-konvergens  -ban. Ha a  -t teljessé tesszük, akkor pedig éppenséggel  -t kapjuk.

ForrásokSzerkesztés

  • Császár Ákos: Valós analízis I.