Abszolútérték-függvény

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív.

Az abszolútérték-függvény grafikonja

Egy x szám abszolút értékét így jelölik:

$|x|\,$.

Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az

$x\mapsto |x|\,$

hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos $\scriptstyle {|\,.\,|}$ jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.

Ekvivalens definíciók

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

$\mathrm {abs} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ;\;\;x\mapsto |x|$

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútérték-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:

$\mathrm {abs} (x)\ =\ |x|\ =\ {\begin{cases}\ x,&{\mbox{ha }}x\geq 0,\\-x,&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}$ $\mathrm {abs} (x)\ =\ |x|\ =\ x\cdot \operatorname {sgn}(x)$ $\mathrm {abs} (x)\ =\ |x|\ =\ \max\{x,-x\}\,$

ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.

Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

Példák

$|7|=7$

$|{-8}|=-(-8)=8$

Analitikus tulajdonságok

Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga. Tehát minden x valós számra

$|\,|x|\,|=|x|$

Ugyanis a nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

Szubadditivitás

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

$|x+y|\leq |x|+|y|$

amely kijelentés lényegében a valós számokra vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség.

Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát az R-en folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

A Lipschitz-folytonosság a szubadditivitásból és a fordított háromszög-egyenlőtlenségből következik, ahol a Lipschitz-konstans $L=1$:

${\bigl |}|z|-|w|{\bigr |}\leq |z-w|$.

Derivált és integrál

Az abszolútérték-függvény a $(-\infty ,0)$ halmazon megegyezik az $x\mapsto -x$ függvénnyel, amely minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja $-1$. Hasonlóan, a függvény a $(0,+\infty )$ halmazon megegyezik az $x\mapsto x$ függvénnyel, amely szintén minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja $1$. Emiatt a függvény az $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ halmazon differenciálható és a deriváltja a szignumfüggvény. A 0-ban nem deriválható, ott töréspontja van (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

$\mathrm {abs} '(x)=\mathrm {sgn} (x)\quad \quad x\neq 0$

Korlátos intervallumon integrálható. Egy határozatlan integrálja $x\mapsto {\tfrac {1}{2}}x^{2}\operatorname {sgn}(x)$.

Arkhimédészi tulajdonság

Az abszolútérték arkhimédészi norma, azaz, hogyha van egy $n$ egész szám, melyre $|n|>1$, akkor minden $m>1$ egész számra teljesül, hogy $|m|>1$.

Algebrai tulajdonságok

Multiplikativitás

„Erős” értelemben multiplikatív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

$|x\cdot y|=|x||y|\,$

Iteráció-invariancia

Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív (n-ed) rendű iteráltja önmaga:

${\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {|\,|...|} }}x{\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {|...|\,|} }}=|x|\,$

vagy az analízis formalizmusában

${\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {\mathrm {abs} \circ \mathrm {abs} \circ ...\circ \mathrm {abs} } }}=\mathrm {abs} \,$

Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek

A megoldáshoz tudni kell, hogy $|a|=b$ esetén következik, hogy $a=b$ vagy $a=-b$. Hogyha $b<0$, akkor $|a|=-b$.

Például szeretnénk megoldani az $|x+3|=5$ egyenletet a valós számokon.

A számolás a következő:

$|x+3|=5$

$\Leftrightarrow x+3=5{\text{ vagy }}x+3=-5$

$\Leftrightarrow x=5-3{\text{ vagy }}x=-5-3$

$\Leftrightarrow x=2{\text{ vagy }}x=-8$

Tehát az egyenletnek két megoldása van $x$-re, jelesül 2 és −8.

Egyenlőtlenségek esetén alkalmazhatók:

$|a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\Leftrightarrow a\leq -b{\text{ vagy }}b\leq a$

Például szeretnénk meg oldani az $|x-3|\leq 9$ egyenlőtlenséget a valós számokon.

Számolhatunk a következőképpen:

$|x-3|\leq 9$

$\Leftrightarrow -9\leq x-3\leq 9$

$\Leftrightarrow -9+3\leq x\leq 9+3$

$\Leftrightarrow -6\leq x\leq 12$

Tehát megoldásként a $[-6,12]$ intervalllum adódik.

Általában az $x$, $m$ és $r$ valós számokra:

$|x-m|\leq r\iff x\in [m-r,m+r]$.

Általánosítás

Komplex számok, kvaterniók, sőt bizonyos más algebrák esetén is értelmezik az abszolút érték fogalmát. Ha z = a + b i komplex szám, akkor abszolút értéke a

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

valós szám, mely lényegében a komplex számot reprezentáló síkvektor hossza.

Általában egy algebrában az abszolút érték olyan norma, mely teljesíti a fent említett erős multiplikatív tulajdonságot.

Komplex abszolútérték

Legy $z=x+\mathrm {i} y$, ahol $x$, $y$ valós. Ekkor

$|z|={\sqrt {z\cdot {\bar {z}}}}={\sqrt {(x+\mathrm {i} y)\cdot (x-\mathrm {i} y)}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$,

ahol ${\bar {z}}$ a $z$ szám komplex konjugáltja. Hogyha $z$ valós, akkor $y=0$, így $z=x$; ezzel a komplex abszolútérték

$|x|={\sqrt {x^{2}}}$

ami éppen megegyezik a valós abszolútértékkel.

A komplex abszolútértékre példa:

$|3+4\mathrm {i} |={\sqrt {(3+4\mathrm {i} )\cdot (3-4\mathrm {i} )}}={\sqrt {3^{2}-(4\mathrm {i} )^{2}}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5$

A komplex abszolútérték nem komplex differenciálható, hiszen csak valós értékeket vesz fel, így nem teljesíti a Cauchy-Riemann-egyenleteket.

Norma

Egy normának három tulajdonságnak kell megfelelnie: definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás. Mivel a valós és a komplex abszolútértéknek megvannak ezek a tulajdonságai, azért mindkettő norma, mégpedig abszolútérték-norma.

A definitség következik abból, hogy a négyzetgyökfüggvénynek a nulla az egyetlen nullhelye:

$|z|=0\;\Leftrightarrow \;{\sqrt {z{\bar {z}}}}=0\;\Rightarrow \;z{\bar {z}}=0\;\Leftrightarrow \;z=0$

A homogenitás adódik abból, hogy ha $w,z$ komplex számok, akkor

$|w\cdot z|^{2}=(w\cdot z){\overline {(w\cdot z)}}=(w\cdot z)({\bar {w}}\cdot {\bar {z}})=(w\cdot {\bar {w}})(z\cdot {\bar {z}})=|w|^{2}\cdot |z|^{2}$

A háromszög-egyenlőtlenség:

${\begin{aligned}|w+z|^{2}&=(w+z){\overline {(w+z)}}=(w+z)({\bar {w}}+{\bar {z}})=w{\bar {w}}+w{\bar {z}}+z{\bar {w}}+z{\bar {z}}=\\&=|w|^{2}+|z|^{2}+w{\bar {z}}+{\overline {w{\bar {z}}}}=|w|^{2}+|z|^{2}+2\operatorname {Re} (w{\bar {z}})\\&\leq |w|^{2}+|z|^{2}+2\,|w{\bar {z}}|=\\&=|w|^{2}+|z|^{2}+2\,|w|\,|z|=(|w|+|z|)^{2},\end{aligned}}$

ahonnan négyzetgyökvonással adódik az eredmény. Itt kihasználtuk, hogy a konjugálás felcserélhető a szorzással és az összeadással. Továbbá azt, hogy a kétszeri konjugálás eredménye a kiindulási komplex szám; illetve, hogy a komplex abszolútérték legalább akkora, mint a valós része. Valós esetben nincs szükség konjugálásra.

Az abszolútérték-normát indukálja a skaláris szorzat a valós és a komplex számok fölött. Jelölje $x$ és $y$ a két számot. Az abszolútérték-norma által indukált metrika:

$d(x,y):=|x-y|$,

ahol a távolság két szám különbségének abszolútértéke.

A definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás alapján az abszolútérték tetszőleges vektortérre általánosítható. Az egyértelműség azonban nincs biztosítva.

Egyéb testek fölött

Legyen $D$ integritástartomány, és $\varphi$ egy $D\rightarrow \mathbb {R}$ függvény! Teljesüljenek még a következő tulajdonságok is:

	$\varphi (x)\geq 0$	(0)	Nemnegativitás
	$\varphi (x)=0\iff x=0$	(1)	Definitség
			(0) és (1) együtt pozitív definitség
	$\varphi (x\cdot y)=\varphi (x)\cdot \varphi (y)$	(2)	Multiplikativitás, abszolút homogenitás
	$\varphi (x+y)\leq \varphi (x)+\varphi (y)$	(3)	Szubadditivitás, háromszög-egyenlőtlenség

A $\varphi$ függvény kiterjesztése a hányadostestre a multiplikativitás miatt egyértelmű. Ezekkel a tulajdonságokkal a $\varphi$ függvény a hányadostest értékelése.

Ha $\varphi (n)\leq 1$ minden $n:=\underbrace {1+\dotsb +1} _{n{\text{-szer}}}$ természetes számra, akkor a norma vagy az értékelés nemarkhimédészi.

A $\varphi (x)=1$ minden $x\neq 0$ esetben triviális nemarkhimédészi norma vagy értékelés.

Nemarkhimédészi esetben teljesül

$\varphi (x+y)\leq \max(\varphi (x),\varphi (y))$

(3’)

az éles háromszög-egyenlőtlenség.

Emiatt a norma ultrametrikus. Megfordítva, minden ultrametrikus norma nemarkhimédészi.

• Ha egy integritástartománynak van arkhimédészi normája, akkor karakterisztikája nulla.
• A nem nulla (azaz prímszám) karakterisztikájú integritástartományoknak csak nemarkhimédészi normája lehet.
• A véges integritástartományok prímkarakterisztikájú véges testek, ahol csak a triviális norma létezik.
• A racionális számok $\mathbb {Q}$ teste, mint prímtest karakterisztikája nulla, és véges bővítésein mind arkhimédészi, mint nemarkhimédészi normák vannak.
• Az Ostrowski-tétel szerint a racionális számokon egyetlen arkhimédészi norma van (ami euklideszi is). A többi norma nemarkhimédészi p-adikus norma, ahol a p betű prímszámra utal. Mindezekre érvényes az approximációs tétel.

Ha $K$ test, akkor a rajta normával indukált metrikák teljessé tehetők. Az így teljessé tett testet ${\hat {K}}$ jelöli. A racionális számok arkhimédészi teljessé tételei ${\hat {\mathbb {Q} }}=\mathbb {R}$ és ${\widehat {\mathbb {Q} (\mathrm {i} )}}={\hat {\mathbb {Q} }}(\mathrm {i} )=\mathbb {C}$. A nemarkhimédészi teljessé tételek ${\hat {\mathbb {Q} }}=\mathbb {Q} _{p}$ minden $p$ prímre.

A triviális norma kiterjesztése is triviális.

Legyenek $\varphi$ és $\psi$ egy $K$ test normái vagy értékelései! Ekkor a következők:

1. Minden $\{x_{\nu }\}$ sorozat, ami $\varphi$ szerint nullsorozat, azaz $\lim \limits _{\nu \to \infty }\varphi (x_{\nu })=0$, akkor $\psi$ szerint is nullsorozat – és megfordítva.
2. Ha $\varphi (x)<1$, akkor $\psi (x)<1$.
3. $\psi$ a $\varphi$ hatványa, vagyis $\psi (x)=\varphi (x)^{\epsilon }$ minden $x$ esetén egy előre rögzített $\epsilon >0$ számmal.

Lásd még

• szignumfüggvény
• norma (matematika)

Hivatkozások

• Weisstein, Eric W.: Absolute value (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Alice és Bob – 17. rész: Alice és Bob ókori haverja

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Betragsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.