Főmenü megnyitása

A norma olyan vektortéren vagy függvénytéren értelmezett leképezés, ami a nullvektor kivételével a tér minden vektorához egy pozitív számot rendel. Érvényesek rá a következő, az abszolút értékhez hasonló tulajdonságok:

  • akkor és csak akkor, ha

-et az normájának nevezzük.

A normát valós vagy komplex vektor- vagy függvénytéren vezetik be. A normával ellátott tereket normált tereknek hívják. A fogalom bevezetésének motivációja a „hosszúság” fogalmának kezelése absztrakt terekben.

Véges dimenziós vektorterekSzerkesztés

Az n dimenziós valós (és komplex) vektortereken többnyire a p-normákat (Hölder-normák) használják:

 

Különösen gyakran fordulnak elő az 1-es, a 2-es és a végtelen-normák.

  • Az 1-norma:  .

A belőle származó távolságmérték olyan utak mentén méri a távolságokat, amelyek nem mehetnek ferdén, azaz minden szakaszuk párhuzamos a koordinátatengelyekkel. Például  -ben a szakaszok csak vízszintesek és függőlegesek lehetnek.

  • A 2-norma:  

Skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy   skalárszorzat, amivel teljesül, hogy  , valamint teljesül rá a Pitagorasz-tétel, a paralelogrammaszabály, és komplex terekben a polarizációs egyenlőség.

A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaszabállyal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.

  • Értelmeznek  -normát is, ahol  

Határértékként is megkapható a p-normákból, ahol p tart a végtelenbe.

Képek az egységgömbökről két dimenzióban:

Véges dimenzióban minden norma ekvivalens, azaz ugyanazok a sorozatok konvergensek minden normában.

MátrixnormákSzerkesztés

A vektornormák mátrixnormákat indukálnak:

 

Itt a sup helyett maximum is írható. A linearitás folytán elég az 1 normájú vektorokat tekinteni, és mivel ez kompakt halmaz, a folytonos   függvény felveszi a maximumát.

Az indukált mátrixnormákra teljesül:

  •  
  •  

Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a végtelen normát használják.

  • Az 1-es norma által indukált mátrixnorma az oszlopösszegnorma, vagy röviden oszlopnorma:

 

  • A végtelen norma a sorösszegnormát, más néven a sornormát indukálja:

 

  • A 2-es norma indukálta mátrixnorma:

 , azaz a mátrix legnagyobb szinguláris értéke. A képletben   a mátrix konjugált transzponáltja, és   az   szorzatmátrix abszolút értékben legnagyobb sajátértéke.

 -es A mátrixra:

 

Végtelen dimenziós vektorterek, függvényterekSzerkesztés

 -terekSzerkesztés

Az  -terek azokból a sorozatokból állnak, amelyekben a tagok abszolút értékes p-edik hatványának összege konvergens.

 

és : 

A véges dimenziós esethez hasonlóan értelmezik a p-normákat:

  p véges

és :  p végtelen

Lp-normákSzerkesztés

Az Lp-terek azokat a függvényeket tartalmazzák, amiknek a p-edik hatványa integrálható. Ha ezekre a függvényekre vesszük az analóg leképezést:

 ,

akkor egy úgynevezett félnormát kapunk, mert ez az integrál nemcsak az azonosan nulla függvényre nulla, hanem azokra is, amik majdnem mindenhol nullát vesznek fel. Tekintsük ekvivalensnek azokat a függvényeket, amik majdnem mindenütt egyenlők. Ezeken az ekvivalenciaosztályokon ez az integrál norma.

Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a határértékként kapható végtelen normát használják, bár előfordulnak fizikai példák más p-kre, mint a hősugárzási egyenlet megoldása az L5-térben.

A 2-es norma skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy   skalárszorzat, amivel teljesül, hogy:  . Valamint teljesül rá a Pitagorasz-tétel, a paralelogrammaszabály, és komplex terekben a polarizációs egyenlőség.

A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaszabállyal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.

OperátornormákSzerkesztés

Az operátornormákat a mátrixnormákkal analóg módon definiálják:

 .

Legyen   egy másik lineáris operátor. Ekkor teljesül:

 .

Véges dimenzióban automatikusan véges lesz a norma. Ez a függvényterekben már nem igaz, a norma végtelen is lehet, például a differenciáloperátorok esetében. Szigorúan véve nem lesz norma a fenti értelemben.

Be lehet bizonyítani, hogy egy operátor normája véges akkor és csak akkor, ha folytonos.

ForrásokSzerkesztés

  • Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1.
  • Riesz-Szőkefalvi: Funkcionálanalízis