Normált tér

A normált tér matematikai objektum, az analízis és azon belül a funkcionálanalízis vizsgálja. Fontos speciális esete a közönséges 3 dimenziós tér. Valójában a normált tér éppen ennek egy természetes általánosítása.

Definíció

A $(V,||\cdot ||)$ kettőst normált térnek nevezzük, ha $V$ vektortér a $\mathbb {K}$ számtest felett, ahol $\mathbb {K}$ a komplex vagy valós számok teste, a $||\cdot ||:V\to \mathbb {R}$ függvény pedig egy norma, amelyre teljesülnek az alábbi tulajdonságok:

1. $\forall {\vec {x}}\in V\ ||{\vec {x}}||\geq 0$
2. $||{\vec {x}}||=0\Leftrightarrow {\vec {x}}={\vec {0}}$
3. $\forall \alpha \in \mathbb {K} \ \forall {\vec {x}}\in V\ ||\alpha \cdot {\vec {x}}||=|\alpha |\cdot ||{\vec {x}}||$
4. $||{\vec {x}}+{\vec {y}}||\leq ||{\vec {x}}||+||{\vec {y}}||$

Példák

Legegyszerűbb példák a véges dimenziós komplex és valós vektorterek, rajtuk az úgynevezett euklideszi normával. Ha ${\vec {x}}\in \mathbb {K} ^{n}$, akkor ennek euklideszi normája:

$||{\vec {x}}||_{E}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\ldots +|x_{n}|^{2}}}$

Más normák is értelmezhetőek ezen a vektortéren:

$||{\vec {x}}||_{\max }=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\}$

$||{\vec {x}}||_{p}={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p}}}$

Ha adott két normált tér, akkor egy köztük ható lineáris operátor normáját is lehet értelmezni. Legyen ugyanis $(X,||\cdot ||_{X}),\ (Y,||\cdot ||_{Y})$ két normált tér, ${\mathcal {A}}:X\to Y$ egy lineáris operátor. Ennek (operátor)normája:

$||{\mathcal {A}}||=\sup\{||{\mathcal {A}}({\vec {x}})||_{Y}:||{\vec {x}}||_{X}\leq 1\}$, feltéve hogy ez a szuprémum véges.

Az olyan lineáris operátorokat, amelyekre ez véges, korlátos lineáris operátoroknak nevezzük. Jegyezzük meg, hogy ezek az operátorok pontosan a folytonos lineáris operátorok!

Függvénytereken is lehet normát értelmezni. Legyen $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ mértéktér (vigyázat, az ${\mathcal {A}}$ itt már egy σ-algebra), és vegyük a következő függvényteret:

$L^{p}(X)=\{f:X\to \mathbb {K} :\int _{X}|f|^{p}d\mu <\infty \}$

Vezessünk be ezen egy ekvivalencia-relációt:

$f\sim g\Leftrightarrow \mu \left(\{x:f(x)\not =g(x)\}\right)=0$

Az ekvivalenciaosztályokat egy reprezentánsukkal szokás jelölni, míg a relációval faktorizált $L^{p}$-t szintén $L^{p}$-vel.

Legyen most $f\in L^{p}$, és ekkor

$||f||_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}$.

Ennek valójában speciális esete a következő:

$f\in C([a,b])$ esetén $||f||_{\infty }=\sup\{f(x):x\in [a,b]\}$.

Tulajdonságok

Kapcsolat a metrikus terekkel

Minden $(V,||\cdot ||)$ normált tér metrizálható. Ha ugyanis ${\vec {x}},{\vec {y}}\in V$, akkor ezek távolságát, $\varrho ({\vec {x}},{\vec {y}})$-t definiálhatjuk a következőképp:

$\varrho ({\vec {x}},{\vec {y}})=||{\vec {x}}-{\vec {y}}||$

Ezzel egyben azt is látjuk, hogy a norma segítségével topológiát definiálhatunk, így van értelme már fentebb említett folytonosságról beszélni normált terek között. Fontos megjegyezni, hogy egyazon vektortéren két különböző norma nem feltétlen ad homeomorf topologikus struktúrát.

Ekvivalens normák

Legyen adva $(V,||\cdot ||_{1})$ és $(V,||\cdot ||_{2})$, azaz egyazon vektortéren két különböző norma. Azt mondjuk, hogy ők ekvivalensek, ha létezik olyan $0<a,b\in \mathbb {R}$, hogy minden ${\vec {x}}\in V$ esetén:

$a\leq {\frac {||{\vec {x}}||_{1}}{||{\vec {x}}||_{2}}}\leq b$

Ekkor $(V,||\cdot ||_{1})$ és $(V,||\cdot ||_{2})$ homeomorfak, ugyanis az $\operatorname {Id} :V\to V,\ \operatorname {Id} ({\vec {x}})={\vec {x}}$ függvény az inverzével együtt teljesíti a Lipschitz-feltételt.

Bizonyítható, hogy egy (valós vagy komplex) vektortér akkor és csak akkor véges dimenziós, ha tetszőleges két rajta értelmezett norma ekvivalens.

Normált terek szorzata

Legyen $(V,||\cdot ||_{V})$ és $(W,||\cdot ||_{W})$ két normált tér. A $V\times W=\{({\vec {v}},{\vec {w}}):{\vec {v}}\in V,{\vec {w}}\in W\}$ vektortéren szintén értelmezhető normált tér struktúra:

$||({\vec {v}},{\vec {w}})||_{1}=\max\{||{\vec {v}}||_{V},||{\vec {w}}||_{W}\}$

$||({\vec {v}},{\vec {w}})||_{2}=||{\vec {v}}||_{V}+||{\vec {w}}||_{W}$

Megmutatható, hogy a fenti két norma ekvivalens.