Lipschitz-tulajdonság

Azt mondjuk, hogy az valós-valós függvény teljesíti a Lipschitz-tulajdonságot (vagy Lipschitz-folytonos, vagy a matematikus argóban lipschitzes), ha létezik olyan nemnegatív valós szám, amelyre az függvény értelmezési tartományában lévő minden és pontra fennáll az

egyenlőtlenség.

Lényegében ez azt jelenti, hogy a függvény görbéjének két tetszőleges pontjához húzott szelő nem lehet akármilyen nagy meredekségű, csak és közötti érték. A függvény tehát nem változhat akármilyen nagyot.

A differenciálegyenletek elméletében a Lipschitz-folytonosság a központi feltétel a Picard–Lindelöf-tételhez, mely a kezdetiérték-probléma megoldásának egyértelmű létezését biztosítja. Egy speciális típusú lipschitzesség, a kontrakció tulajdonsága fontos szerepet játszik Banach fixponttételében. A Riemann-integrál elméletében az integrálfüggvény karakterisztikus tulajdonságai közül az egyik, hogy az integrálfüggvény Lipschitz-függvény.[forrás?]

A Lipschitz-tulajdonság definiálható mind a normált, mind a metrikus terekben. A Lipschitz-függvények elsőrendű Hölder-függvények, így a Hölder-folytonosság a fogalom egy általánosításának tekinthető.

TulajdonságokSzerkesztés

Minden korlátos deriváltú, differenciálható függvény Lipschitz-függvény (   alkalmas Lipschitz-konstansnak).

Minden   Lipschitz-tulajdonságú függvény egyenletesen folytonos (így tehát folytonos is), hiszen tetszőleges   pozitív számra a   olyan, hogy ha  , akkor:

 .

Visszafelé ez nem igaz. A   intervallumon értelmezett   függvény ugyanis egyenletesen folytonos Heine-tétel értelmében, de nem lipschitzes, mert a deriváltja – így a szelők meredeksége – akármilyen nagy lehet.

Injektív minden bilipschitzes függvény, azaz olyan függvény, melyre teljesül, hogy létezik   szám, amivel:

 .

Hiszen ha  , és   mégis egyenlő  -nal, akkor az egyenlőtlenség miatt   és ezt csak az   tudja kielégíteni, ami ellentmondás.

Kompakt halmazon értelmezett lokálisan Lipschitz-tulajdonságú függvény (globálisan) Lipschitz-tulajdonságú. (Itt lokálisan lipschitzességen azt értjük, hogy minden pontnak van olyan környezete, ahol a függvény lipschitzes.)

Ha az   egy   Lipschitz-konstansú függvény a (metrikus-, normált-)tér egy részhalmazán van értelmezve, akkor   kiterjeszthető a teljes térre úgy, hogy a kiterjesztés még mindig   Lipschitz-konstansú legyen. Speciálisan az   értelmezési tartományának lezártjára is kiterjeszthető, ahogy az egyenletesen folytonos függvényekre vonatkozó hasonló tételben is ez történik.

Lebesgue tétele szerint minden intervallumon értelmezett valós-valós Lipschitz-függvény majdnem mindenhol differenciálható. Ennek egy általánosítása, hogy tetszőleges, nyílt halmazon értelmezett többváltozós, valós értékű függvény szintén majdnem mindenhol differenciálható – ez Rademacher tétele.

IrodalomSzerkesztés

Laczkovich MiklósT. Sós Vera: Analízis 1., ELTE jegyzet

Külső hivatkozásokSzerkesztés