Főmenü megnyitása
Az integrál mint a függvénygörbe alatti terület
Riemann-összegek egy sorozata az integrálási intervallum fölötti szabályos felosztású partíción. A felül lévő szám a téglalapok területeinek az összegét mutatja, ami a függvény integráljához konvergál.
A partíciónak ugyanakkor nem kell szabályosnak lennie. A szükséges kritérium a partíciósorozatra (amely fölött vesszük a Riemann összegek sorozatát) az, hogy minden részintervallum hosszának 0-hoz kell tartania.

A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás (régen: egészelés).

Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az x tengely, valamint az x = a és az x = b egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével definiálható az említett görbével határolt terület nagysága.

Folytonos függvények integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.

Riemann-integrál definíciójaSzerkesztés

Riemann definíciójaSzerkesztés

Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.

 
Integrálható (azon belül folytonos) függvény.

Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen   halmazzal, ahol  . Ezt az Fn halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen:  

 
Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása

Mindegyik [xi-1, xi] részintervallumból (1 ≤ in) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξi elemet.

Állítsunk f(ξi) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:

 

Ezt a   jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:

 

A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat:  . Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a   sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.

Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele:   vagy röviden:  .

 

Összefoglalva:

 
ahol
 
 
 

Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.

Jellemzés a Darboux-integrálokkalSzerkesztés

Ha a   összegben az   helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk:  , ahol   a függvény felső határa (supremuma) az   intervallumon.

Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is:  , ahol   az függvény alsó határa (infimuma) az   intervallumon.

A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait. Az alsó integrálközelítő összegek szuprémuma az alsó Darboux-integrál:

 ,

és a felső integrálközelítő összegek infimuma a felső Darboux-integrál:

 .

Egy adott intervallumon korlátos függvénynek mindig léteznek a Darboux-integráljai. Egy ilyen függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-féle értelemben, ha az alsó és felső Darboux-integráljaik megegyeznek.

A Riemann-integrál tulajdonságaiSzerkesztés

Kapcsolata a folytonossággalSzerkesztés

Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.

Ha   Riemann-integrálható  -n, és

 ,

akkor   folytonos  -n.

LinearitásSzerkesztés

Ha   az   intervallumon Riemann-integrálható függvények,   valós konstans, akkor   és   is integrálható ugyanott, és teljesülnek a következők:

 
 

Az integrációs határok felcseréléseSzerkesztés

Ha   Riemann-integrálható   intervallumon, akkor

 

Az integrációs intervallum felbonthatóságaSzerkesztés

Legyen  . Ha   Riemann-integrálható   intervallumon, akkor Riemann-integrálható   és   intervallumokon is, valamint:

 

Háromszög-egyenlőtlenségSzerkesztés

Ha   az   intervallumon Riemann-integrálható függvény, akkor   is az, és teljesül a következő:

 

Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségSzerkesztés

Ha   az   intervallumon integrálhatóak a Riemann-féle értelemben, akkor a négyzeteik és a szorzatuk is, és fennáll a következő egyenlőtlenség:

 

Newton–Leibniz-formulaSzerkesztés

A határozott integrál és a primitív függvény kapcsolatát tárja fel a Isaac Barrow által felfedezett Newton–Leibniz-formula:

Ha  -n  , akkor

 

Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.

Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha   Riemann-integrálható  -n, és   (azaz   határozatlan integrálja f-nek), akkor  , az intervallum minden   pontjára.

Parciális integrálásSzerkesztés

A Newton-Leibniz formulából már könnyen adódik a parciális integrálás képlete:

 

Helyettesítéses integrálásSzerkesztés

Legyen  , ahol   folytonosan differenciálható, és   folytonos     általi képén. Ekkor

 

A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériumaSzerkesztés

Egy   intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és   majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).

Egyéb integrálokSzerkesztés

Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:

További információkSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  • Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
  • Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
  • Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
  • Medvegyev P. (2004): Sztochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.