Folytonos függvény
A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy f függvény folytonossága az x helyen azt jelenti, hogy x kis megváltoztatása esetén a hozzá tartozó függvényérték, az f(x) is csak kicsit változik. A „kis változás” matematikailag a határérték segítségével értelmezhető. A folytonosság lokális (helyi) tulajdonság, a függvény értelmezési tartományának egy pontjában definiált fogalom (pontbeli folytonosság).[1]
A korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvények esetén beszélhetünk intervallumon való folytonosságról. (Vö.: Darboux-tulajdonság.) Ez utóbbiak szemléletesen mutatják a folytonos függvényekről alkotott intuitív képet, miszerint ezeknek a grafikonja a ceruza felemelése nélkül megrajzolható.
Némileg bonyolultabb, illetve szerteágazóbb probléma a görbék ill. más geometriai alakzatok folytonosságának kérdése általában. Ezzel a topológia foglalkozik. A probléma részben visszavezethető a valós-valós függvények folytonosságának és határértékeinek vizsgálatára, de ettől függetlenül és jóval általánosabb keretek között, pl. v. mely topológiai axiómerendszer vagy struktúra segítségével is tárgyalható.
Pontbeli folytonosság szerkesztés
Definíció szerkesztés
Azt mondjuk, hogy a valós számok egy A részhalmazán értelmezett f: A → R függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u pontjában, és ezt -val jelöljük, ha minden ε pozitív számhoz létezik olyan δ pozitív szám, hogy minden olyan x ∈ A számra, amely u-tól δ-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az f(x) függvényérték ε-nál kisebb távolságra van f(u)-tól. Azaz
Magyarázat. a függvény u-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen kicsi ε hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az u körül olyan kis ( u-δ, u+δ ) intervallum, amelyen belüli x-ekre a függvény f(x) értékei a hibakorlátnál – ε-nál – kisebb mértékben térnek el f(u)-tól.
Folytonosság jellemzése határértékkel szerkesztés
Legyen f a valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen u ∈ A. Az, hogy az f függvény az u pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy
- u az A-nak vagy izolált pontja, vagy
- u az A-nak torlódási pontja és létezik az f(u)-val egyenlő határérték.
u torlódási pontja A-nak, ha bármely pozitív ε-hoz létezik A-nak olyan u-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága u-tól kisebb, mint ε. A-nak izolált pontja u, ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív ε, melyre A-nak nincs más eleme az (u-ε , u+ε) nyílt intervallumban, csak u.
Átviteli elv szerkesztés
Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni.
Az f valós számok halmazának egy A részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az u ∈ A pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén a függvényértékek (f(xn)) sorozata is konvergens és az f(u) számhoz tart, azaz
Halmazon való folytonosság szerkesztés
Azt mondjuk, hogy egy f függvény folytonos az értelmezési tartományának egy H részhalmazán, és ezt -val jelöljük, ha f folytonos a H halmaz minden pontjában. Röviden csak azt mondjuk, hogy f folytonos, és ezt -vel jelöljük, ha f folytonos az értelmezési tartományán.
Uniform folytonosság szerkesztés
Ha és a valós számok részhalmazai, akkor az függvény uniform folytonos, ha bármely -ra létezik , úgy, hogy bármely , teljesül, hogy . A folytonosság és az uniform folytonosság között az a különbség, hogy az uniform folytonosság esetén a értéke csak -tól függ, magától az ponttól nem.
Abszolút folytonosság szerkesztés
Legyen a valós számok egy intervalluma. Az függvény abszolút folytonos az halmazon, ha bármely pozitív -hoz létezik egy pozitív , úgy, hogy bármely véges sorozatára a páronként diszjunkt részintervallumoknak teljesül, hogy:[2]
- -ra igaz : .
Az alábbi állítások a valós függvényre vonatkozóan az kompakt intervallumon ekvivalensek:[3]
- abszolút folytonos;
- -nek majdnem mindenhol létezik egy deriváltja, amely Lebesgue-integrálható és bármely -re az intervallumon;
- létezik egy Lebesgue-integrálható függvény intervallumon, úgy, hogy bármely -re az intervallumon.
Ha a fentiek teljesülnek, akkor majdnem mindenhol . Az első és harmadik pont ekvivalenciáját a Lebesgue-integrálás alaptételének nevezik.[4]
Szakadás szerkesztés
A valós-valós függvények leképezését legtöbbször egy képlettel adják meg. A függvény vizsgálata, vagyis analízise legtöbbször annak az halmaznak (értelmezési tartomány) a meghatározásával kezdődik, amelynek minden pontjában értelmezhető a képlet műveletsora, azaz kiszámítható, tehát létezik a megfelelő helyettesítési érték.
Szinguláris pont szerkesztés
Ha a szakadási helyen a függvény határértéke ±∞, akkor szingularitásról beszélünk.
Megszüntethető szakadás szerkesztés
Ha egy hely a függvény szakadási helye, ahol a határérték létezik és véges, akkor képlet hozzárendelését kiegészítve a előírással, a (grafikon) szakadása megszüntethető.
Ugráshely szerkesztés
Egy hely a függvény ugráshelye, ha létezik mind a bal-, mind a jobb oldali határérték és ezek egyike megegyezik a függvényértékkel.
Elsőfajú szakadás szerkesztés
Ha a függvénynek a helyen van bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek vagy különbözők, vagy a közös érték nem egyezik meg az helyettesítési értékkel, a szakadás elsőfajú. (A gyakorlati alkalmazásoknál ez utóbbi esetben is megszüntethető a szakadás.)
Másodfajú szakadás szerkesztés
Minden egyéb esetben, például, ha a jobb és bal oldali határértékek különbözőek (végesek), és egyik sem egyezik meg az helyettesítési értékkel, a szakadás másodfajú és nem megszüntethető.
Kapcsolódó szócikkek szerkesztés
Hivatkozások szerkesztés
Jegyzetek szerkesztés
- ↑ Kezdetben a folytonosságnak egy sokkal pontatlanabb, ugyanakkor igen szemléletes intuitív képe is élt: nevezetesen, a folytonos függvények görbéje (ill. a görbe ábrázolt darabja) megrajzolható az íróeszköz „felemelése” nélkül. A tizennyolcadik század második felétől kezdve a számtalan „topológiailag elfajult” függvénygörbe (ide tartoznak például a fraktálszerű görbék, mint pl. a Poincaré-görbe) felfedezése meglehetősen tarthatatlanná tette ezt a képet.
- ↑ Royden 1988, Sect. 5.4, page 108; Nielsen 1997, Definition 15.6 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval I is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.
- ↑ Nielsen 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya & Lahiri 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.
- ↑ Athreya & Lahiri 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.
Külső hivatkozások szerkesztés
- PlanetMath: continuous Archiválva 2006. szeptember 25-i dátummal a Wayback Machine-ben
- Encyclopaedia of Mathematics: Continuous function