Főmenü megnyitása

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy f függvény folytonossága az x helyen azt jelenti, hogy x kis megváltoztatása esetén a hozzá tartozó függvényérték, az f(x) is csak kicsit változik. A „kis változás” matematikailag a határérték segítségével értelmezhető. A folytonosság lokális (helyi) tulajdonság, a függvény értelmezési tartományának egy pontjában definiált fogalom (pontbeli folytonosság).[1]

A korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvények esetén beszélhetünk intervallumon való folytonosságról. (Vö.: Darboux-tulajdonság.) Ez utóbbiak szemléletesen mutatják a folytonos függvényekről alkotott intuitív képet, miszerint ezeknek a grafikonja a ceruza felemelése nélkül megrajzolható.

Némileg bonyolultabb, illetve szerteágazóbb probléma a görbék ill. más geometriai alakzatok folytonosságának kérdése általában. Ezzel a topológia foglalkozik. A probléma részben visszavezethető a valós-valós függvények folytonosságának és határértékeinek vizsgálatára, de ettől függetlenül és jóval általánosabb keretek között, pl. v. mely topológiai axiómerendszer vagy struktúra segítségével is tárgyalható.

Pontbeli folytonosságSzerkesztés

DefinícióSzerkesztés

Azt mondjuk, hogy a valós számok egy A részhalmazán értelmezett f: AR függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u pontjában, és ezt  -val jelöljük, ha minden ε pozitív számhoz létezik olyan δ pozitív szám, hogy minden olyan xA számra, amely u-tól δ-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az f(x) függvényérték ε-nál kisebb távolságra van f(u)-tól. Azaz

 

Magyarázat. a függvény u-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen kicsi ε hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az u körül olyan kis ( u-δ, u+δ ) intervallum, amelyen belüli x-ekre a függvény f(x) értékei a hibakorlátnál – ε-nál – kisebb mértékben térnek el f(u)-tól.

Folytonosság jellemzése határértékkelSzerkesztés

Legyen f a valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen uA. Az, hogy az f függvény az u pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy

u torlódási pontja A-nak, ha bármely pozitív ε-hoz létezik A-nak olyan u-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága u-tól kisebb, mint ε. A-nak izolált pontja u, ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív ε, melyre A-nak nincs más eleme az (u-ε , u+ε) nyílt intervallumban, csak u.

Átviteli elvSzerkesztés

Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni.

Az f valós számok halmazának egy A részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az uA pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén a függvényértékek (f(xn)) sorozata is konvergens és az f(u) számhoz tart, azaz

 

Halmazon való folytonosságSzerkesztés

Azt mondjuk, hogy egy f függvény folytonos az értelmezési tartományának egy H részhalmazán, és ezt  -val jelöljük, ha f folytonos a H halmaz minden pontjában. Röviden csak azt mondjuk, hogy f folytonos, és ezt  -vel jelöljük, ha f folytonos az értelmezési tartományán.

Lásd: Intervallumon értelmezett függvények

Uniform folytonosságSzerkesztés

Ha   és   a valós számok részhalmazai, akkor az   függvény uniform folytonos, ha bármely  -ra létezik  , úgy, hogy bármely  ,   teljesül, hogy  . A folytonosság és az uniform folytonosság között az a különbség, hogy az uniform folytonosság esetén a   értéke csak  -tól függ, magától az   ponttól nem.

Abszolút folytonosságSzerkesztés

Legyen   a valós számok egy intervalluma. Az   függvény abszolút folytonos az   halmazon, ha bármely pozitív  -hoz létezik egy pozitív  , úgy, hogy bármely véges sorozatára a páronként diszjunkt   részintervallumoknak teljesül, hogy:[2]

 -ra igaz : .

Az alábbi állítások a valós   függvényre vonatkozóan az   kompakt intervallumon ekvivalensek:[3]

  1.   abszolút folytonos;
  2.  -nek majdnem mindenhol létezik egy   deriváltja, amely Lebesgue-integrálható és  bármely  -re az   intervallumon;
  3. létezik egy   Lebesgue-integrálható függvény   intervallumon, úgy, hogy   bármely  -re az   intervallumon.

Ha a fentiek teljesülnek, akkor majdnem mindenhol  . Az első és harmadik pont ekvivalenciáját a Lebesgue-integrálás alaptételének nevezik.[4]

SzakadásSzerkesztés

A valós-valós függvények leképezését legtöbbször egy képlettel adják meg. A függvény vizsgálata, vagyis analízise legtöbbször annak az   halmaznak (értelmezési tartomány) a meghatározásával kezdődik, amelynek minden pontjában értelmezhető a képlet műveletsora, azaz kiszámítható, tehát létezik a megfelelő   helyettesítési érték.

Szinguláris pontSzerkesztés

Ha a szakadási helyen a függvény határértéke ±∞, akkor szingularitásról beszélünk.

Megszüntethető szakadásSzerkesztés

Ha egy   hely a függvény szakadási helye, ahol a határérték létezik és véges, akkor képlet hozzárendelését kiegészítve a   előírással, a (grafikon) szakadása megszüntethető.

UgráshelySzerkesztés

Egy   hely a függvény ugráshelye, ha létezik mind a bal-, mind a jobb oldali határérték és ezek egyike megegyezik a függvényértékkel.

Elsőfajú a szakadás,Szerkesztés

ha a függvénynek a   helyen van bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek vagy különbözők, vagy a közös érték nem egyezik meg az   helyettesítési értékkel. (A gyakorlati alkalmazásoknál ez utóbbi esetben is megszüntethető a szakadás.)

 

Másodfajú a szakadás,Szerkesztés

minden egyéb esetben.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

HivatkozásokSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Kezdetben a folytonosságnak egy sokkal pontatlanabb, ugyanakkor igen szemléletes intuitív képe is élt: nevezetesen, a folytonos függvények görbéje (ill. a görbe ábrázolt darabja) megrajzolható az íróeszköz „felemelése” nélkül. A tizennyolcadik század második felétől kezdve a számtalan „topológiailag elfajult” függvénygörbe (ide tartoznak például a fraktálszerű görbék, mint pl. a Poincaré-görbe) felfedezése meglehetősen tarthatatlanná tette ezt a képet.
  2. Royden 1988, Sect. 5.4, page 108; Nielsen 1997, Definition 15.6 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval I is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.
  3. Nielsen 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya & Lahiri 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.
  4. Athreya & Lahiri 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.

Külső hivatkozásokSzerkesztés

A Wikimédia Commons tartalmaz Folytonos függvény témájú médiaállományokat.