Főmenü megnyitása

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy f függvény folytonossága az x helyen azt jelenti, hogy x kis megváltoztatása esetén a hozzá tartozó függvényérték, az f(x) is csak kicsit változik. A „kis változás” matematikailag a határérték segítségével értelmezhető. A folytonosság lokális (helyi) tulajdonság, a függvény értelmezési tartományának egy pontjában definiált fogalom (pontbeli folytonosság).[1]

A korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvények esetén beszélhetünk intervallumon való folytonosságról. (Vö.: Darboux-tulajdonság.) Ez utóbbiak szemléletesen mutatják a folytonos függvényekről alkotott intuitív képet, miszerint ezeknek a grafikonja a ceruza felemelése nélkül megrajzolható.

Némileg bonyolultabb, illetve szerteágazóbb probléma a görbék ill. más geometriai alakzatok folytonosságának kérdése általában. Ezzel a topológia foglalkozik. A probléma részben visszavezethető a valós-valós függvények folytonosságának és határértékeinek vizsgálatára, de ettől függetlenül és jóval általánosabb keretek között, pl. v. mely topológiai axiómerendszer vagy struktúra segítségével is tárgyalható.

Tartalomjegyzék

Pontbeli folytonosságSzerkesztés

DefinícióSzerkesztés

Azt mondjuk, hogy a valós számok egy A részhalmazán értelmezett f: AR függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u pontjában, és ezt  -val jelöljük, ha minden ε pozitív számhoz létezik olyan δ pozitív szám, hogy minden olyan xA számra, amely u-tól δ-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az f(x) függvényérték ε-nál kisebb távolságra van f(u)-tól. Azaz

 

Magyarázat. a függvény u-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen kicsi ε hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az u körül olyan kis ( u-δ, u+δ ) intervallum, amelyen belüli x-ekre a függvény f(x) értékei a hibakorlátnál – ε-nál – kisebb mértékben térnek el f(u)-tól.

Folytonosság jellemzése határértékkelSzerkesztés

Legyen f a valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen uA. Az, hogy az f függvény az u pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy

u torlódási pontja A-nak, ha bármely pozitív ε-hoz létezik A-nak olyan u-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága u-tól kisebb, mint ε. A-nak izolált pontja u, ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív ε, melyre A-nak nincs más eleme az (u-ε , u+ε) nyílt intervallumban, csak u.

Átviteli elvSzerkesztés

Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni.

Az f valós számok halmazának egy A részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az uA pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, u-hoz konvergáló (xn) sorozat esetén a függvényértékek (f(xn)) sorozata is konvergens és az f(u) számhoz tart, azaz

 

Halmazon való folytonosságSzerkesztés

Azt mondjuk, hogy egy f függvény folytonos az értelmezési tartományának egy H részhalmazán, és ezt  -val jelöljük, ha f folytonos a H halmaz minden pontjában. Röviden csak azt mondjuk, hogy f folytonos, és ezt  -vel jelöljük, ha f folytonos az értelmezési tartományán.

Lásd: Intervallumon értelmezett függvények

Uniform folytonosságSzerkesztés

Ha   és   a valós számok részhalmazai, akkor az   függvény uniform folytonos, ha bármely  -ra létezik  , úgy, hogy bármely  ,   teljesül, hogy  . A folytonosság és az uniform folytonosság között az a különbség, hogy az uniform folytonosság esetén a   értéke csak  -tól függ, magától az   ponttól nem.

Abszolút folytonosságSzerkesztés

Legyen   a valós számok egy intervalluma. Az   függvény abszolút folytonos az   halmazon, ha bármely pozitív  -hoz létezik egy pozitív  , úgy, hogy bármely véges sorozatára a páronként diszjunkt   részintervallumoknak teljesül, hogy:[2]

 -ra igaz : .

Az alábbi állítások a valós   függvényre vonatkozóan az   kompakt intervallumon ekvivalensek:[3]

  1.   abszolút folytonos;
  2.  -nek majdnem mindenhol létezik egy   deriváltja, amely Lebesgue-integrálható és  bármely  -re az   intervallumon;
  3. létezik egy   Lebesgue-integrálható függvény   intervallumon, úgy, hogy   bármely  -re az   intervallumon.

Ha a fentiek teljesülnek, akkor majdnem mindenhol  . Az első és harmadik pont ekvivalenciáját a Lebesgue-integrálás alaptételének nevezik.[4]

SzakadásSzerkesztés

A valós-valós függvények leképezését legtöbbször egy képlettel adják meg. A függvény vizsgálata, vagyis analízise legtöbbször annak az   halmaznak (értelmezési tartomány) a meghatározásával kezdődik, amelynek minden pontjában értelmezhető a képlet műveletsora, azaz kiszámítható, tehát létezik a megfelelő   helyettesítési érték.

Szinguláris pontSzerkesztés

Ha a szakadási helyen a függvény határértéke ±∞, akkor szingularitásról beszélünk.

Megszüntethető szakadásSzerkesztés

Ha egy   hely a függvény szakadási helye, ahol a határérték létezik és véges, akkor képlet hozzárendelését kiegészítve a   előírással, a (grafikon) szakadása megszüntethető.

UgráshelySzerkesztés

Egy   hely a függvény ugráshelye, ha létezik mind a bal-, mind a jobb oldali határérték és ezek egyike megegyezik a függvényértékkel.

Elsőfajú a szakadás,Szerkesztés

ha a függvénynek a   helyen van bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek vagy különbözők, vagy a közös érték nem egyezik meg az   helyettesítési értékkel. (A gyakorlati alkalmazásoknál ez utóbbi esetben is megszüntethető a szakadás.)

 

Másodfajú a szakadás,Szerkesztés

minden egyéb esetben.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

HivatkozásokSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Kezdetben a folytonosságnak egy sokkal pontatlanabb, ugyanakkor igen szemléletes intuitív képe is élt: nevezetesen, a folytonos függvények görbéje (ill. a görbe ábrázolt darabja) megrajzolható az íróeszköz „felemelése” nélkül. A tizennyolcadik század második felétől kezdve a számtalan „topológiailag elfajult” függvénygörbe (ide tartoznak például a fraktálszerű görbék, mint pl. a Poincaré-görbe) felfedezése meglehetősen tarthatatlanná tette ezt a képet.
  2. Royden 1988, Sect. 5.4, page 108; Nielsen 1997, Definition 15.6 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval I is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.
  3. Nielsen 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya & Lahiri 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.
  4. Athreya & Lahiri 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.

Külső hivatkozásokSzerkesztés

A Wikimédia Commons tartalmaz Folytonos függvény témájú médiaállományokat.