Hilbert-tér

A Hilbert-tér a modern matematika fontos fogalma: olyan skalárszorzatos vektortér, amely teljes a skalárszorzat által definiált normára nézve. A Hilbert-tereket a funkcionálanalízis tanulmányozza. A Hilbert-térnek alapvető jelentősége van a kvantummechanika megalapozásában, jóllehet a kvantummechanika sok alapvető tulajdonsága megérthető a Hilbert-terek mélyebb megértése nélkül.[1] A Hilbert-tér egyben Banach-tér is, melynek normáját skalárszorzat indukálja.

Szerkezetét egyértelműen meghatározza a Hilbert-dimenziója. Ez tetszőleges kardinális szám lehet. Ha a dimenzió véges, akkor euklideszi vektortérről van szó. Sok területen, például a kvantummechanikában a megszámlálhatóan végtelen dimenziós Hilbert-teret használják. A Hilbert-tér egy eleme megadható a dimenziónak megfelelő számú valós, vagy komplex koordinátával. A vektorterekhez hasonlóan, ahol egy Hamel-bázisban megadott koordináták véges kivétellel nullák, egy Hilbert-tér ortonormált bázisában csak megszámlálható sok koordináta különbözhet nullától, és a koordináták négyzetesen összegezhetők.

A Hilbert-tereken értelmezett skalárszorzat topologikus szerkezettel is ellátja a teret; ez lehetővé teszi a határértékek megközelítését, szemben az általános vektorterekkel.

Bevezetés szerkesztés

 
David Hilbert

A Hilbert-teret David Hilbertről nevezték el, aki az integrálegyenletekkel kapcsolatban tanulmányozta azokat. Az elnevezés eredete „der abstrakte Hilbertsche Raum” Neumann Jánostól származik, a nemkorlátos hermitikus operátorokról szóló 1929-es híres cikkéből. Neumann volt talán az a matematikus, aki legtisztábban látta a jelentőségét, annak a megtermékenyítően ható munkájának következtében, mellyel a kvantummechanikát szilárd alapokra helyezte. A „Hilbert-tér” elnevezést hamarosan mások is elfogadták, például Hermann Weyl az 1931-ben publikált A csoportok és a kvantummechanika elmélete (The Theory of Groups and Quantum Mechanics) című könyvében.

Az absztrakt Hilbert-tér elemeit „vektoroknak” nevezik. A kvantummechanikában például egy fizikai rendszert egy „hullámfüggvényekből” álló komplex Hilbert-tér ír le, mely hullámfüggvények a rendszer egyes állapotait írják le, a hullámfüggvények egy L-2-tér elemei a kvantummechanika modern megfogalmazásában. A kvantummechanikában gyakran használt síkhullámok és kötött állapotok Hilbert-terére a formálisabb kifeszített Hilbert-tér néven hivatkoznak.

Definíció szerkesztés

A H vektorteret a T test (valós vagy komplex számtest) feletti Hilbert-térnek nevezzük, ha értelmezve van rajta egy Hermite-féle alak (belső szorzat), amely egy teljes normált teret indukál.

Azaz létezik egy leképzés:  , amely minden  -beli  ,  ,  -re és minden  -beli  -ra a következőket teljesíti:

  1.   (nemnegatív);
  2.   (definit);
  3.   (hermitikus - valós esetben a konjugálás elhagyható);
  4.   és   (lineáris a második argumentumban).

Minden, az előbbi tulajdonságokat teljesítő, belső szorzatos térben értelmezhető egy ||.|| norma következőképpen:

 .

H Hilbert-tér, ha H erre a normára nézve teljes, azaz minden H-beli Cauchy-sorozat konvergál.

Megjegyzések:

Példák szerkesztés

  • Az   koordinátatér az   valós skalárszorzattal
  • A   koordinátatér az   skalárszorzattal
  • A   valós vagy komplex mátrixtér a Frobenius-skalárszorzattal
  • A   Szoboljev-tér minden   esetén. Ezek képezik a parciális differenciálegyenletek megoldáselméletének alapját.
  • A Hilbert-Schmidt-operátorok   tere.
  • A   Hardy-tér és a   valós Hardy-tér.
  • Az   sorozattér, melyet azok a sorozatok alkotnak, ahol a sorozat elemeinek négyzetösszege véges. David Hilbert ezt a teret vizsgálta. Fontossága abban áll, hogy minden szeparábilis végtelen dimenziós Hilbert-tér izometrikusan izomorf  -tel.
  • A négyzetesen integrálható függvények   tere az   skalárszorzattal.
  • A majdnemperiodikus függvények   tere, ami a következőképpen definiálható: Legyen  , ehhez tekintjük azokat az   függvényeket, ahol  . Ellátjuk az   teret az   skalárszorzattal, így prehilbertteret kapunk. Ezt a teret teljessé téve jutunk az   Hilbert-térhez, ami nem szeparábilis.

Ortogonalitás szerkesztés

Két vektort   ortogonálisnak mondunk, ha  , gyakori jelölés:  .

Egy S halmazt H-beli ortogonális rendszernek nevezünk, ha  , és  . Ha egy ortogonális rendszer nem bővíthető (maximális), akkor ortogonális bázis. Az ortogonális bázisok lineáris burka sűrű a Hilbert-térben. A lineáris algebrában megszokott értelemben ezek csak véges dimenziós esetben bázisok.

Egy S halmazt H-beli ortonormált rendszernek nevezünk, ha  , és  , ahol   a Kronecker-delta. A Zorn-lemmával belátható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Egy véges   ortonormált rendszerre érvényes a Pitagorasz-tétel és a Bessel-egyenlőtlenség (mint minden belső szorzatos térben). Azaz minden x-re H-ban:

Pitagorasz:

 

Bessel:

 


Bázis szerkesztés

Definíció: A H Hilbert-tér egy maximális ortonormált rendszerét ortonormált bázisnak nevezzük. Azaz   egy ortonormált bázis, ha B ortonormált rendszer, és B bármely  -val való bővítés után, már nem ortonormált rendszer.

A Zorn-lemma (illetve a kiválasztási axióma) használatával megmutatható, hogy minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa.

Ha y egy H Hilbert-térbéli vektor és   egy ortonormált bázisa H-nak, ahol I egy tetszőleges indexhalmaz, akkor:

 , ahol   csak megszámlálható sok  -re nem nulla, és az összegzés független a sorrendtől. y kifejezése bázisvektorok soraként egyértelmű. Továbbá:

  (Parseval tétel).

Ortonormált bázisokkal a Hilbert-terek teljesen osztályozhatók. Minden Hilbert-térben van ortonormált bázis, és egy Hilbert-tér ortonormált bázisainak kardinalitása megegyezik. Egy Hilbert-tér ortonormált bázisainak kardinalitása tehát jóldefiniált. Ezt nevezzük a tér Hilbert-dimenziójának, röviden dimenziójának. Ugyanazon test fölötti megegyező dimenziójú Hilbert-terek izomorfak, ugyanis a két bázis elemről elemre megfeleltethető egymásnak, és ez a megfeleltetés folytonosan kiterjeszthető az egész térre.

Alterek szerkesztés

Egy Hilbert-altér egy Hilbert-tér olyan részhalmaza, ami a Hilbert-térben értelmezett vektorösszeadás, skalárral szorzás és skalárszorzás leszűkítésére szintén Hilbert-tér. Ez azt is jelenti, hogy altere, mint vektortérnek, hiszen ezek a kikötések feltételezik a nullvektor tartalmazását, és zárt a vektorösszeadásra és a skalárral szorzásra. Emellett még a skalárszorzásra is teljesnek kell lennie; ez ekvivalens azzal, hogy topológiai értelemben zárt. Emiatt a Hilbert-altereket zárt alterekként is emlegetik, szemben az egyszerűen csak altérként említett vektorterekkel. Általában ezek az alterek skalárszorzatos vektorterek, melyek sűrűek egy Hilbert-térben, ami lezárással kapható. Lehetséges Hilbert-alterekre hányadosteret képezni, ekkor szintén Hilbert-térhez jutunk.

Ez hasonló a Banach-terek esetéhez, melyek vektortéri értelemben vett alterei normált terek. Egy fontos különbség a projekciós tétel: Adva legyen egy Hilbert-tér, amiben kiválasztunk egy elemet, és egy Hilbert-alteret. Ekkor a Hilbert-altérben egyértelműen van egy vektor, melynek az adott vektortól mért távolsága minimális. Banach-terekben ez általában már véges dimenzióban sem igaz. Ez lehetővé teszi Hilbert-altér hányadosterének kanonikus azonosítását egy Hilbert-altérrel, ez az ortogonális komplementer; és az ortogonális vetítés bevezetését is. Egy Hilbert-altér ortogonális komplementere egy komplementer Hilbert-altér; azonban Banach-alterekhez általában nincs komplementer altér.

Definíció: Legyen  , ekkor definiáljuk S ortogonális komplementerét:

 .

Tétel: Legyen H egy Hilbert-tér, M pedig egy zárt altér H-ban. Ekkor  

Konjugált Hilbert-tér szerkesztés

Komplex Hilbert-terek esetén a skalárszorzás nem szimmetrikus; lineáris a második argumentumban, és szemilineáris az elsőben. Azonban definiálható a konjugált Hilbert-tér, a következőképpen: Legyen   Hilbert-tér, és legyen a   értelmezve ugyanazon az alaphalmazon, és legyen a vektorok összeadása is ugyanaz, mint  -ban. A többi művelet:

  • Skalárral szorzás:  
  • Skalárszorzás:  .

Ezekkel a műveletekkel   szintén Hilbert-tér,   konjugált Hilbert-tere. A konjugált Hilbert-tér konjugált Hilbert-tere, az eredeti Hilbert-tér.

Hilbert-terek közötti leképezések szerkesztés

A funkcionálanalízisben vizsgálnak olyan terek közötti leképezéseket is, amelyek megtartják a terek struktúráját. Ezek a leképezések megtartják a vektortér struktúrát is, azaz lineáris leképezések, melyeket a funkcionálanalízisben lineáris operátoroknak neveznek.

A Hilbert-terek közötti lineáris operátorok fontos osztálya a folytonos lineáris operátoroké. Ezek megtartják a topologikus struktúrát, így a konvergenciát is. További fontos tulajdonságok valamilyen értelmű korlátosságot feltételeznek. A korlátosság ekvivalens a folytonossággal; így sokszor egyszerűen csak folytonos operátorokként emlegetik őket. A kompaktság egy erősebb követelmény. A Schatten-Neumann-osztályok a kompakt operátorok osztályának valódi alosztályai. Az operátorok osztályain szintén definiálnak normákat és operátortopológiákat.

Az unitér operátorok a Hilbert-terek természetes izomorfizmus fogalmát definiálják, mivel ezek éppen az izomorfizmusok a Hilbert-terek kategóriájában, a skalárszorzattartó lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal. Ezek konkrétan a lineáris szürjektív izometriák, a szögek és hosszak megőrzésével.

A folytonos lineáris operátorokat meghatározza, hogy egy ortonormált bázist mire képez le. Valójában minden kardinális számhoz létezik valós és komplex Hilbert-tér is, melynek a dimenziója megegyezik az adott kardinális számmal, például az   tér, ahol az   indexhalmaz kardinális száma az adott kardinális szám:

 ,

ahol   vagy  , és a konvergencia érdekében előírjuk, hogy csak megszámlálható sok tag különbözik a nullától (lásd feltétlen kovergencia). Ezt a teret ellátjuk az

 ,

skalárszorzattal. Az   tér egy ortonormált bázisát alkotják az   vektorok, ahol  . A Riesz-Fischer-tétel azt mondja ki, hogy minden Hilbert-tér izomorf egy ilyen térrel.

Riesz reprezentációs tétel szerkesztés

Definíció (duális tér): Egy H Hilbert-tér H* duális terén, a H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálok Banach-terét értjük, azaz

 

a folytonosság (mivel normált terek közötti lineáris leképzésről van szó) egyenértékű a leképzés operátornorma szerinti korlátosságával, azaz egy   lineáris függvényre igaz:

 

 

Tétel (Riesz reprezentáció): Minden  -hez létezik pontosan egy  , úgy hogy   minden x-re H-ban, és
 .

Vagyis a tétel azt mondja ki, hogy H duális tere egy Hilbert-tér, amely izometrikusan izomorf H-hoz. Ez az egyik leglényegesebb tulajdonsága a Hilbert-tereknek, és ez a tulajdonság különbözteti meg őket nagyban az általánosabb Banach-terektől. Komplex esetben a tétel hasonlóan működik, azzal a különbséggel, hogy a leképezés szemilineáris, tehát az operátor is szemilineáris. Mindkét esetben a Hilbert-tér izomorf a duális terével (egy szemiunitér   operátor felbontható egy   unitér és egy   szemiunitér operátorra), így a Hilbert-tér izomorf a biduális terével, tehát a Hilbert-terek reflexívek.

Ezen tétel felhasználásával vezetik be a fizikusok a bra-ket írásmódot, mely a Hilbert-tér elemeit   módon jelöli, és ket-vektoroknak nevezi őket, a duálvektorokat pedig   módon, melyeket bra-vektoroknak nevez. Két vektor skaláris szorzata, pedig a duálvektor hattatása a vektorra:  , azaz a duálvektort a vektor mellé írjuk, így a bra és a ket vektor képzi nyelvi humorral a bracket-et, azaz a skaláris szorzat jelölésére használt zárójelet.

A tételből következik, hogy egy  -ből  -ba menő lineáris operátor adjungált operátora értelmezhető, mint egy  -ból  -be menő lineáris operátor. Így egy operátor felcserélhető adjungált operátorával; az efféle operátorok alkotják a normális operátorok osztályát. Egy Hilbert-tér operátorainál fennáll annak a lehetősége, hogy egy operátor adjungált operátora önmaga. Ezek az önadjungált operátorok.

Egy Hilbert-téren több fent bevezetett operátorosztály operátoralgebrát alkot. Az adjungálással, mint involúcióval és egy megfelelő normával involutív Banach-algebrákat alkotnak. Egy Hilbert-tér folytonos lineáris operátorai az adjungálással és az operátornormával C*-algebrát alkot.

Fourier-együttható szerkesztés

Az ortonormált bázisok hasznosak a Hilbert-terek és elemeik vizsgálatára mind valós, mind komplex test fölött. Például az elemek ábrázolása meghatározható ortonormált bázisban. Legyen   ortonormált bázis, és   a Hilbert-tér egy vektora. Mivel   ortonormált bázis, azért vannak   illetve   együtthatók úgy, hogy

 .

Ezek az együtthatók meghatározhatók az ortonormált bázis speciális tulajdonságainak felhasználásával

 ,

mivel a különböző bázisvektorok skalárszorzata nulla, és a bázisvektorok önmagukkal vett skalárszorzata 1. Egy vektor ábrázolásának  -edik együtthatója ortonormált bázisban meghatározható skalárszorzattal. Ezeket az együtthatókat Fourier-együtthatóknak is nevezzük, mivel a Fourier-analízis egy fogalmának általánosítását nyújtják.

RKHS szerkesztés

Ha egy Hilbert-teret egy maggal asszociálunk, melyet a térben minden függvény reprodukál, akkor Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS)-ről van szó, ami magyarra fordítva: reprodukáló mag Hilbert-tér. Ezt először Stanisław Zaremba matematikus formalizálta 1907-ben. Jelentősége fél évszázaddal később nőtt meg, amikor a funkcionálanalízisben fontos szerephez jutott. Ma a reprodukáló magos Hilbert-terek a statisztikai elméletek egy szokványos eszköze, különösen a gépi tanulásban.

Alkalmazások szerkesztés

Minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is (de fordítva nem igaz).
Minden L-2 tér egy Hilbert-tér.

Minden véges dimenziós belső szorzattal rendelkező tér (mint az Euklideszi-tér a szokásos skalárszorzattal) Hilbert-teret alkot. Valójában a végtelen dimenziós terek jelentősége az alkalmazások területén sokkal nagyobb. Pár példa ezekre:

A kvantummechanika matematikai megfogalmazásai. Például a kvantummechanikában egy kvantummechanikai rendszer tiszta állapotai megadhatók Hilbert-térben egy vektorral. Egy kvantummechanikai rendszer állapotai egy lineáris struktúra elemei, vagyis állapotok lineáris kombinációja szintén állapot. Két állapot,   és   skalárszorzatának normájának négyzete azt adja meg, hogy ha egy mérés eredménye  , akkor mekkora annak a valószínűsége, hogy a rendszer a   állapotban van. Ha a fizikában a Hilbert-térről beszélnek, akkor az adott kvantummechanikai rendszer állapotterét értik.

Például egy szabad részecske lehetséges hullámfüggvényei a   négyzetesen integrálható függvények   terét alkotják a szokásos  -skalárszorzattal:

 .

Egy másik példa egy elektron lehetséges spin állapotai a   teret feszítik ki, a szokásos komplex skalárszorzattal.

A belső szorzat teszi lehetővé a „geometriai” látásmód megőrzését, és a véges dimenziós terekben megszokott geometriai nyelvezet használatát. Az összes végtelen dimenziós topologikus vektortér közül a Hilbert-terek a „legjobban viselkedőek” és ezek állnak legközelebb a véges dimenziós terekhez. A funkcionálanalízis szempontjából a Hilbert-terek speciális és egyszerű szerkezetű terek egy osztályát alkotják.

A Fourier-analízis egyik célja, hogy egy adott függvényt adott alapfüggvények kombinációjaként írjunk fel, azaz olyan (esetleg végtelen) összegként, melyben az alapfüggvények többszörösei a tagok. Ez a probléma absztrakt módon vizsgálható Hilbert-terekben: minden Hilbert-térnek van ortonormált bázisa, és a Hilbert-tér minden eleme egyféleképp írható fel a báziselemek kombinációjaként, azaz olyan összegként, melyben a bázisvektorok többszörösei (skalárszorosai) szerepelnek.

Megjegyzés szerkesztés

A német nyelvterületen több egyetemen is van Hilbert-térnek nevezett terem.[2][3][4]

Ajánlott irodalom szerkesztés

  • Reed-Simon, Methods of modern mathematical physics, 1. volume: Functional Analysis, Academic Press, INC.

Jegyzetek szerkesztés

Források szerkesztés

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Hilbertraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.