Kronecker-delta
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. (2022 szeptemberéből) |
A Kronecker-delta (másként Kronecker-szimbólum vagy diszkrét Dirac-delta) matematikai kétváltozós, általában egész számok függvénye, s amelynek értéke 1, ha a két szám egyenlő, minden más esetben 0. Így például , de . Jelölése δij, és inkább jelölési rövidítésnek, mint függvénynek tekintik. A függvényt Leopold Kronecker (1823–1891) német matematikusról nevezték el.
Más jelölések
szerkesztésAz Iverson-féle zárójeles jelölés használatával:
Gyakran a jelölést használják:
A lineáris algebrában tenzornak tekintik és így írják: .
Digitális jelfeldolgozás
szerkesztésUgyanez a gondolat a digitális jelfeldolgozásban is megjelenik, és egy egész számokon értelmezett függvényként reprezentálják:
Ezt a függvényt impulzusfüggvénynek vagy egységimpulzusnak nevezik. Ha a jelfeldolgozás egy elemét éri, akkor az outputot az adott elem impulzusválaszának hívják.
Tulajdonságok
szerkesztés- :
- Ha az egészeket mértéktérnek tekintjük, és ellátjuk a számlálómértékkel, ekkor ez a tulajdonság megegyezik a Dirac-deltát definiáló tulajdonsággal:
A Dirac-deltát a Kronecker-delta analógiájára nevezték el. A jelfeldolgozásban aszerint tesznek köztük különbséget, hogy az idő folytonos-e, vagy diszkrét. Megállapodás szerint folytonos időt jelöl (Dirac), és az olyan argumentumok, mint i, j, k, l, m, és n a diszkrét idő számára vannak fenntartva (Kronecker). Egy másik elterjedt gyakorlat szerint a diszkrét sorozatokat szögletes zárójellel jelölik, így: .
A Kronecker-delta a matematika több területén is felbukkan.
Lineáris algebra
szerkesztésA lineáris algebrában az identitásmátrix felírható alakjában.
Ha a Kronecker-deltát tenzornak tekintjük, akkor így írható fel:
ahol i kovariáns, és j kontravariáns index.
Ez az (1,1) tenzor reprezentálja:
- az identitást, mint lineáris leképezést
- a nyomot
- a skaláris szorzatot
- a leképezést, ami a skaláris szorzatot a külső szorzatok összegeként reprezentálja.
A Kronecker-delta kiterjesztései
szerkesztésTöbb dimenzióban hasonlóan definiálhatunk egy többváltozós függvényt:
Ez a függvény akkor és csak akkor veszi fel az 1 értéket, ha a felső indexek megegyeznek az alsókkal, különben nulla.
Reprezentáció integrálokkal
szerkesztésA komplex függvénytanból ismert reziduumok felhasználásával a Kronecker-delta minden -re reprezentálható ezzel az integrállal:
ahol az integrálási út pozitív forgásirányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) megkerüli a nullát.
Ez egy elforgatással a következő formában is írható:
Egyéb reprezentációi
szerkesztésA Kronecker-delta felírható két diszkrét Heaviside-függvény különbségeként az alábbi módon: