Főmenü megnyitása

A lineáris algebrában az egységmátrix (vagy n-edrendű egységmátrix) olyan n×n-es négyzetes mátrix, melynek főátlójában csupa 1-esek, a többi helyen 0-k szerepelnek (az n pedig egy tetszőleges pozitív egész számot jelöl). Az egységmátrixot gyakran In-nel, En-nel vagy ha n adott, akkor I-vel vagy E-vel jelölik. (Néhány területen, például a kvantummechanikában megvastagított 1-gyel is jelölik 1).

Definiáló tulajdonságSzerkesztés

Ha T test és Mn(T) a T feletti n×n-es mátrixok algebrája, akkor egyetlen olyan  Mn(T) mátrix van, melyre teljesül, hogy minden AMn(T)-re:

 

és ahol az I főátlójában T egységeleme (1), a többi helyen pedig T zéruseleme (0) áll, és ez az n-edrendű egységmátrix.

Másként szólva ez azt jelenti, hogy   az n×n-es mátrixok multiplikatív (a mátrixszorzás műveletével képzett) csoportjának, azaz a GL(n, T) általános lineáris csoportnak egységeleme, illetve hogy az Mn(T) algebra egységelemes.

Ugyanis világos, hogy a diagonális, a főátlójában csupa egyest tartalmazó mátrix rendelkezik a fenti tulajdonsággal, másrészt ha lenne két ilyen tulajdonságú mátrix, mondjuk   és  *, akkor az   =      * =  *    * =  * egyenlőség miatt ezek egyenlők lennének. Az egyetlen ilyen tulajdonságú mátrix tehát az egységmátrix.

Általában egy T test feletti bármilyen dimenziójú mátrixok halmazában (melyben az összeadás és a szorzás csak parciálisan értelmezett, hisz csak a megfelelő alakú mátrixokkal végezhetők el) igaz az egységmátrixokra, hogy

 

és

 

minden A-val jelölt m×n-es és B-vel jelölt n×m-es mátrixra.

További tulajdonságokSzerkesztés

Minden n-re:

  •  
  • rangja n
  • minden λT-re  
  •   determinánsa egy, azaz   (hiszen nem növel térfogatot)
  •   invertálható, inverze önmaga:  
  • az egyetlen olyan idempotens mátrix, melynek determinánsa nem 0
  • egyetlen sajátértéke az 1 és minden vektor ezzel a számmal sajátvektora
  • minden bázisban   a diagonalizációja (azaz önmaga)
  • ebből következik, hogy a nyoma n, azaz  
  •  

Ez utóbbi azért van, mert tetszőleges kvadratikus A mátrixot formálisan behelyettesítve az exponenciális függvény Taylor-sorába:

 

így az   esetben a sorfejés jobb oldalának főátlójában a   sorösszeg van, ami e-vel egyenlő, míg a főátlón kívüli elemekre a jobb oldal 0-t ad.

Mint lineáris leképezésSzerkesztés

Ha V a T test feletti n-dimenziós vektortér, akkor a V egy B bázisára vonatkozóan felírható tetszőleges lineáris leképezés mátrixa. Ebből a szempontból az In egységmátrix az x   x identitásleképezés mátrixa akármelyik bázisban:

 

ha B és C a V tetszőleges bázisa.

Világos, hogy a lineáris leképezések terében az identitásleképezéssel való kompozíció és az egységmátrixszal való szorzás is azonosítható.

Kronecker-szimbólumSzerkesztés

Az n×n-es mátrixok nem mások, mint az (i, j) alakú párokon értelmezett T-be képező függvények, ahol 1 ≤ i, jn. Ebben az értelemben az egységmátrix azonos a Kronecker-féle δ függvénnyel, melyre:

 

és így

 

minden 1 ≤ i, jn-re.

EgységgyökökSzerkesztés

Egy n×n-es A mátrixot k-adik egységgyöknek nevezünk, ha az A mátrix k-adik hatványa az n-edrendű egységmátrix. Például a 2 × 2-es egységnégyzetgyökök:

  ill.  

ForrásokSzerkesztés