Komplex analízis

A komplex analízis vagy komplexfüggvény-tan a matematika azon ága, amely a komplex változós komplex értékű függvényekkel foglalkozik. Alkalmazzák kétdimenziós fizikai problémák modellezésében és a számelméletben is.

A komplex analízisben központi szerep jut a függvények differenciálhatóságának, s konkrétan a holomorf illetve a meromorf függvények vizsgálatának.

Komplex függvénySzerkesztés

Komplex függvény alatt olyan függvényeket értünk, melyeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete egyaránt a komplex sík részhalmaza.

DifferenciálhatóságSzerkesztés

A deriváltSzerkesztés

Valamely   függvény deriváltja a z helyen a valós esethez hasonlóan értelmezhető. Ha az alábbi határérték létezik, akkor f a z helyen differenciálható, s a határértéket az f függvény z pontban vett deriváltjának nevezzük:

 

Ha egy f függvény valamely Ω halmaz minden pontján differenciálható, akkor definiálható a derivált függvény is:

 

A Cauchy–Riemann egyenletekSzerkesztés

A komplex függvények differenciálhatóságra adnak ekvivalens feltételt a Cauchy–Riemann egyenletek.[1] Ezek mögött az van, hogy a határértéknek az adott pontban a komplex sík minden irányából közelítve azonosnak kell lennie. Mivel a komplex sík izomorf a kétdimenziós valós vektortérrel,   komplex változós függvény felírható ekvivalens módon   alakban a következőképpen:

 

Pontosan akkor differenciálható   valamely   pontban, ha teljesülnek az úgynevezett Cauchy–Riemann egyenletek:

 

Ekkor a derivált értéke a következő:

 

Minden differenciálható komplex függvény analitikusSzerkesztés

Megmutatható, hogy minden differenciálható komplex függvény analitikus, azaz az adott pont egy környezetében a függvény Taylor-sora létezik és előállítja a függvényt.

IntegrálásSzerkesztés

Mivel mind a változónak, mind a függvény értékének lehet valós és képzetes része is, az integrálás a vektorfüggvényekéhez hasonló. Legelterjedtebb a komplex síkon végigfutó görbe menti vonalintegrál. Cauchy alaptétel: bármely analitikus függvényt egy zárt görbén integrálva az eredmény nulla.

 

A vonalintegrált sokszor akkor is tudjuk értelmezni, ha a függvény nem analitikus, azaz a a görbén belül szakadása, pólusa van. Példaként az   függvényt az origó körüli körön integrálva (kihasználva, hogy  

 

Ebből megkapható, hogy egy   alakú függvény, ahol   tetszőleges, analitkus függvény,   pólust tartalmazó zárt görbére vett integrálja az analitikus függvény   pont-beli értékét adja.

 

Holomorf függvényekSzerkesztés

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt holomorfnak nevezzük, ha differenciálható.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható.

Meromorf függvényekSzerkesztés

A komplex sík valamely nyílt részhalmazán értelmezett függvényt meromorfnak nevezzük, ha legfeljebb izolált pontokban nem differenciálható.

A szó az ógörög meros (μέρος) szóból ered, mely azt jelenti rész, utalva arra, hogy a függvény csak az értelmezési tartományának egy részén differenciálható.

ForrásokSzerkesztés

  1. Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 105. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8