Mértéktér

A mértéktér egy olyan matematikai fogalom, melynek segítségével a méréseket lehet értelmezni matematikai szigorúsággal. A mögöttes motiváció tulajdonképpen az integrál problémáit tartalmazza, így a két fogalom fejlődése kéz a kézben haladt. Bár a nevük hasonló, de a mértékterek és a metrikus terek között elvi különbség van, jelesül, hogy a metrika az alaphalmaz elempárjait, a mérték pedig a részhalmazait jellemzi.

Definíció

Mértéktérnek nevezünk egy $(M,{\mathcal {A}},\mu )$ hármast, ha $M$ halmaz, $\mu$ mérték felette és ${\mathcal {A}}$ egy σ-algebrája. Ekkor $\mu (A)$-t az $A$ halmaz mértékének nevezzük. Ezzel kapcsolatban lehet a mértékterek néhány jellemzőjét is megadni:

• Ha $\mu (M)$ véges, akkor a mértékteret végesnek nevezzük.
• $A\in {\mathcal {A}}$ σ-véges, ha létezik olyan ${\mathcal {A}}$-beli halmazrendszer, aminek minden eleme véges és egyesítése $A$
• Ha $M$ σ-véges, akkor a mértékteret is σ-végesnek nevezzük.
• A mértéktér teljes, ha minden 0 mértékű halmaz minden részhalmaza mérhető.

A mértékterek fogalmát lehet általánosítani, ha a mértéket egy σ-additív, $N$ normált térbe ható vektorfüggvénnyel helyettesítjük. Ekkor a $(M,{\mathcal {A}},N,\mu )$ négyest vektormértéktérnek nevezzük.

Példák

• A valós számok tetszőleges intervalluma a rész-intervallumaiból álló σ-algebrával ellátva a Lebesgue-mértékkel
• Események egy $E$ halmaza a hozzátartozó ${\mathcal {E}}$ eseményalgebrával és a valószínűségi mértékkel ($P:{\mathcal {E}}\to [0,1]$ és $P(E)=1$)

Források

• dr. Tómács Tibor: Mértékelmélet (Jegyzet, Eger, 2011.)
• Kristóf János: Az analízis elemei (Jegyzet, ELTE Budapest, 1995)
• Bronstejn - Szemengyajev - Musiol - Mühlig: Matematikai kézikönyv (TypoTEX, 2000) ISBN 963-9132-59-4