Főmenü megnyitása

A komplex függvénytanban a reziduum a Laurent-sorok mínusz egyedik együtthatója. Fontosságát a reziduumtételnek köszönheti, ami lehetővé teszi a komplex értékű függvények komplex síkbeli görbe menti integráljának kiszámítását. Ha a görbével valós intervallumot közelítünk, akkor valós integrálok számításához is hasznos eszközt kapunk.

DefinícióSzerkesztés

Komplex tartományonSzerkesztés

Legyen   tartomány,   izolált pont  -ben és   holomorf. Ekkor minden   pontnak van egy pontozott környezete,  , ami relatív kompakt  -ben, ahol   holomorf. Ekkor   Laurent-sorba fejthető  -ban:  , és ekkor   reziduuma  -ban

 .

Riemann-féle számgömbSzerkesztés

A fenti definíció kiterjeszthető a   Riemann-féle számgömbre is. Legyen ismét   diszkrét halmaz  -ben és   holomorf függvény. Ekkor minden   mit  -ra legyen ugyanaz a definíció, mint az előbb. Ha  , akkor a reziduumot a

 

helyettesítéssel definiáljuk, ahol   egy elég nagy sugarú, óramutató járása szerint irányított kör, és   a Laurent-sor mínusz egyedik együtthatója.

TulajdonságokSzerkesztés

  • Legyen   tartomány, és   holomorf függvény  -ban. Ekkor a Cauchy-integráltétel miatt   reziduuma  -ban nulla.
  • Az integrálos ábrázolás szerint az   differenciálforma reziduumáról is beszélhetünk.
  • Teljesül a reziduumtétel, hogy a zárt görbe menti integrál csak a görbén belül levő szingularitásoktól, az ottani reziduumoktól és az azok körüli körülfordulási számtól függ.

PéldákSzerkesztés

  • Ha     egy nyílt környezetében holomorf, akkor  .
  • Ha  , akkor  -nek elsőrendű pólusa van  -ban, és ott  .
  • A logaritmikus derivált szabálya és a linearitás miatt  , mivel  -nal elsőrendű nullhelye van  -ben.
  • A gammafüggvénynek elsőrendű pólusa van  -ben, ahol   és ott a reziduuma  .

KiszámításaSzerkesztés

A komplex értékű függvények reziduuma sokszor a definíciónál könnyebben is kiszámítható. Legyenek   komplex függvények, és keressük a reziduumot a-ban!

  • A reziduumképzés lineáris   mint alaptest fölött, vagyis minden  -re:
 
  • Ha  -nek  -ban elsőrendű pólusa van, akkor:
 
  • Ha  -nek elsőrendű pólusa van  -ban, és   ugyanitt holomorf:
 
  • Ha  -nek  -ban elsőrendű nullhelye van:
 
  • Ha  -nek  -ban elsőrendű nullhelye van, és   ugyanitt holomorf:
 
  • Ha  -nek  -ban  -edrendű pólusa van: : 
  • Ha  -nek  -ban  -edrendű nullhelye van: : .
  • Ha  -nek  -ban  -edrendű nullhelye van, és   ugyanitt holomorf:
 .
  • Ha  -nek  -ban  -edrendű pólusa van: : .
  • Ha  -nek  -ban  -edrendű pólusa van és   ugyanitt holomorf:
 .
  • Ha a  -beli reziduum kell, akkor:
 . Ekkor a   helyettesítéssel:
 

Az   logaritmikus derivált az elméletben is kapcsolódik a reziduumtételhez.

AlgebrájaSzerkesztés

Legyen   test, és   egy egyszerű összefüggő reguláris zárt görbe   fölött! Ekkor minden   közrezárt elemhez létezik egy kanonikus leképezés:

 

ami minden meromorf differenciálformához hozzárendeli az  -beli reziduumát.

Ha    -racionális elem és   lokális uniformizálandó, akkor a reziduumleképezés explicit módon is megadható: Hogyha   meromorf differenciálforma és   lokális ábrázolás, és még

 

Laurent-sora  -nek, akkor

 

Ez   esetén megegyezik a függvénytani definícióval.

A reziduumtétel analógja is teljesül: Minden   meromorf differenciálformára a reziduumok összege nulla:

 

ForrásokSzerkesztés

  • Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
  • A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online
  • John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4e série, tome 1, no 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF