Főmenü megnyitása

A reziduumtétel a komplex függvénytan legfontosabb tételeinek egyike. A Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálformula közös általánosítása. Eszközt ad egy tartományon az izolált szingularitásait kivéve holomorf függvény görbe menti integráljának kiszámításához, ha ismerjük továbbá a következőket: a függvény pólusokbeli reziduumai, a tartomány által tartalmazott lánc, és annak körülfordulási száma. Nemcsak elméleti jelentősége van, hanem valós integrálok kiszámításához is felhasználható.

A tétel kimondásaSzerkesztés

Ha   tartomány,   véges sok izolált pont halmaza  -ben, és   holomorf, akkor minden nullhomológ   ahol még   és   a görbe körülfordulási száma:

 

A jobb oldal mindig véges, mivel   nullhomológ, tehát   relatív kompakt  -ben, így korlátos.

  • Ha a  -beli pontokban a szingularitások megszüntethetők, akkor itt a reziduumok eltűnnek, és visszakapjuk Cauchy integráltételét:
 
  • Ha   holomorf  -ben és  , és  -nak elsőrendű pólusa van  -ben  reziduummal, akkor visszakapjuk a Cauchy-integrálformulát:
 

A nullhelyeket és a pólusokat számoló integrálSzerkesztés

Ha   meromorf  -ben, és   f nullhelyeinek,   pólusainak halmaza, és  , akkor a reziduumtétel felhasználásával kapjuk:

 

ahol

 

  null-, illetve pólushelyeinek rendje  -ban. A logaritmikus derivált reziduumának számítási szabályával

 .

AlkalmazásaiSzerkesztés

A reziduumtétellel valós improprius integrálok is számíthatók. Ehhez az integrációs tartományt egyre bővebb véges valós intervallumokkal közelítik, és ezeket az intervallumokat zárt görbévé egészítik ki a komplex síkon. A görbét úgy konstruálják, hogy a valós szakaszokon kívül eső részeken a görbe menti integrál a nullához tartson. A módszer használható úgy is, hogy a komplex síkot egy végtelen ponttal egészítik ki. Az elméleti fizikában ezt a módszert a reziduumok módszerének nevezik.

Törtracionális függvényekSzerkesztés

Ha   a   és a   polinomok hányadosa minden  -re, akkor

 ,

ahol   a felső félsík, és egy elég nagy  -re és  -val és  -val kiegészítve integrálunk a   zárt félkörön, és tekintjük az   határátmenetet.   miatt egy elég nagy  -re és a  -re a görbe menti integrálokra vonatkozó becsléssel

 , tehát   és a fenti becslés miatt az utóbbi integrál is létezik.

Példa: Legyen  ,   első rendű pólussal  -ben. Ekkor  , és így  .

Törtracionális függvények exponenciális függvénnyelSzerkesztés

Legyenek   és   polinomok úgy, hogy  , ne legyenek a   polinomnak valós gyökei, és jelölje a felső félsíkban levő gyökeit (pozitív képzetes rész)  . Ekkor minden   esetén

 

ahol  . Most a   zárt út  -től  -ig megy, majd egy félkörív zárja le az óramutató járásával ellentétes irányban. Most rögzítsünk egy   pozitív valós számot, és a félkört burkoljuk az óramutató járásával ellentétes irányban bejárt   téglalappal. A függőleges szakaszokat felosztjuk úgy, hogy az osztópontokban  , és ezután külön kezeljük a felső és az alsó részt. A jobb egyenes alsó részén  , ami nullához tart; hasonlóan nullához tart a bal egyenes alsó részén. Az   esetben  . Ez azt jelenti, hogy a téglalap teljes felső részén nullához tart, és a fenti állítás igaz.

Példa: Legyen  , ami megfelel az összes fenti követelménynek, mivel gyökei   alakúak. Eszerint:

 

Törtracionális függvény nem egész termmelSzerkesztés

Legyenek   és   polinomok, továbbá  , ahol  , és ne legyenek a   polinomnak gyökei  -ben, valamint  -nak nullában. Ekkor:

 

Példa:  , ekkor  , a függvény pólusa van a   helyeken, ezzel a további követelmények is teljesülnek. Ekkor  , tehát

 

Trigonometrikus függvényekSzerkesztés

Legyen   két polinom hányadosa, ahol   minden  -re, továbbá  . Ekkor

 

ahol   az egységkörlap. Ekkor az egységkör körülfordulási száma az egységkörlap belsejében 1, és a feltevés szerint nincsenek szingularitások az egységkörvonalon.

Példa: Teljesül

 ,

mivel  -nek elsőrendű pólusa van  -ben, de csak a  -ben levő pólusa fekszik  -ben, és ott   reziduuma  .

Fourier-transzformáltSzerkesztés

Adva legyen egy   függvény, továbbá az   pontok, ahol  , és  . Ekkor van két   szám, hogy   elég nagy  -re, ekkor minden  -re

 

Ugyanez a forma hasonlóan teljesül  -ra. Ezzel a módszerrel bonyolult Fourier-integrálok számíthatók. A felső félsíkon az integrál eltűnik a Jordan-lemma miatt.

BizonyításaSzerkesztés

A tétel az általános Cauchy-tétel felhasználásával bizonyítható.

Legyenek a   körök   középpontú körök, és sugaruk legyen akkora, hogy diszjunktak maradjanak, és benne maradjanak a   tartományban. Vegyük ezeket a köröket a   lánchoz, és nevezzük az így kapott láncot  -nek! Az általános Cauchy-tétellel

 

Az   függvény reziduumának integrálos alakja:

 

Ezt behelyettesítve a bizonyítás kész.

ÁltalánosításaSzerkesztés

A reziduumtétel kompakt Riemann-felületekre is kiterjeszthető. Egy ilyen felületen értelmezett 1-forma reziduumainak összege nulla.

Következményként adódik Liouville második tétele az elliptikus függvényekről.

ForrásokSzerkesztés

  • Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 229.
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 145, Satz 4.1.
  • A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel Kiadó: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Residuensatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.