A geometriában a sík két, egymással szöget bezáró vektorának skaláris szorzata az [1] valós szám. Két geometriai vektor skaláris szorzatát tehát úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk a hosszukat és az általuk közbezárt szög koszinuszát. A skaláris szorzás ezek szerint kétváltozós függvény, amely a vektorpárokat a valós számokra képezi. Bár a vektorok skaláris szorzása számos tekintetben hasonlít a számok szorzására, lényeges különbség az, hogy míg két szám szorzata ismét szám, két vektor skaláris szorzata nem vektor, hanem szám (skalár; innen ered az elnevezés), így szigorúan véve ez a leképezés nem is nevezhető műveletnek. A skaláris szorzatot néha belső szorzatnak is nevezik. Szokásos jelölése: , , vagy .[2]

A skaláris szorzatnak fontos közvetlen alkalmazásai vannak a geometriában és a fizikában, igazi jelentőségét azonban az adja, hogy a skalárszorzat-fogalomnak számos általánosítása és absztrakciója van, amelyek révén alkalmazható a koordinátageometriában,[3] a lineáris algebrában, a vektoranalízisben, a funkcionálanalízisben, az ortogonális függvénysorok elméletében, a statisztikában és a számítástechnikában is.

A széleskörű alkalmazhatóság kulcsa az a megfigyelés, hogy ha a két összeszorzandó síkvektor koordinátáival adott: és , akkor skaláris szorzatuk épp az

mennyiség.

Ez az összefüggés lehetővé teszi, hogy a skalárszorzat fogalmát tetszőleges n-dimenziós valós vektorterek elemeire is kiterjesszük, és az és n-dimenziós vektorok skalárszorzatát az

egyenlőséggel definiáljuk.

Ennek révén aztán a lineáris algebrában szokásos absztrakt vektorokkal kapcsolatban is beszélhetünk olyan alapvetően geometriai jellegű fogalmakról, mint a hosszúság, a hajlásszög, az irány, a merőlegesség és a párhuzamosság, valamint a vetület. Ugyanakkor a fordított irányú kapcsolat lehetővé teszi, hogy geometriai feladatokat aritmetikai, algebrai számítások elvégzésére vezessünk vissza, ami a koordinátageometria és a geometria fizikai-műszaki alkalmazásainak az alapja.[4]

Motiváció és történeti háttér szerkesztés

 
Az   erővektornak az   elmozdulásvektor irányába mutató komponense  , így az   által végzett munka épp  

Történetileg a skaláris szorzás motivációját a mechanikai munka fizikai fogalma adja. Ismert, hogy ha egy test valamilyen erő hatására a kérdéses erő irányába elmozdul, akkor az erő által végzett munka (a test mozgási energiájának növekedése) az erő és az elmozdulás szorzata. Az erő és az elmozdulás azonban egyaránt vektormennyiségek, és előfordulhat, hogy irányuk nem esik egybe. Ilyenkor az erő által végzett munka továbbra is lineáris függvénye mind az erőnek, mind az elmozdulásnak, de a munka tényleges mértékének kiszámításában csak az erőnek az elmozdulás irányába eső komponense játszik szerepet. Ha   jelöli az   erővektor és az   elmozdulásvektor hajlásszögét, akkor ez a komponens épp az erővektor  -szorosa, így az erő által végzett munka  ,   és   skaláris szorzata.

Az analitikus geometriában először Lagrange 1773-as, Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires[5] című művében bukkan fel a skaláris szorzat. A fogalom modern tárgyalása Gibbs 1901-es (tanítványa, Edwin Bidwell Wilson által lejegyzett) Vector Analysis című művében jelenik meg.[6]

Geometriai jelentése szerkesztés

Jelölje az   és   vektorok hosszát   és  , illetve legyen az   és   vektorok által közrezárt szög  ! Ekkor

 

Szigorúan véve egyik tényező sem lehet a nullvektor, hiszen akkor a közrezárt szög nem definiálható. Definíció szerint, ha   vagy  , akkor  .

Ahogy szorzáskor, itt is szokás elhagyni a szorzásjelet, ha ez nem okoz félreértést:

 

Ahelyett, hogy   írható az is, hogy   vagy  

További szokásos jelölések még   és  

Alapvető tulajdonságai szerkesztés

 
A skaláris szorzat disztributivitása

A skalárszorzat definíciójából közvetlenül következnek az alábbi tulajdonságok.

Ha   és   párhuzamosak és egyező irányításúak, azaz  , akkor

  •  

Speciálisan, a skalárszorzattal kiszámítható egy vektor hossza:

  •  

Ha   és   párhuzamosak, de ellenkező irányításúak, vagyis  , akkor:

  •  

Ha két vektor merőleges egymásra, akkor hajlásszögük koszinusza 0, így skaláris szorzatuk is nulla. Megfordítva, ha két, egymással   szöget bezáró (nem nulla hosszúságú)   vektor skaláris szorzata nulla, akkor

 

és így  . Követve azt a konvenciót, hogy a nullvektor minden vektorra merőleges, a fentieket úgy foglalhatjuk össze, hogy két vektor akkor és csak akkor merőleges, ha a szorzatuk nulla.

Ha   és   hegyesszöget zár be, akkor   Ha   és   szöge tompaszög, akkor  

Ha   (Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenség) és   lineárisan összefüggők.

A skaláris szorzat szimmetrikus (a műveleteknél megszokott szóhasználattal: kommutatív), mivel  

Egy vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszúságának a négyzete:   Ebből következően   , és   akkor és csak akkor, ha   Az ilyen leképezéseket pozitív definitnek nevezzük.

Minden argumentumában homogén:

  minden   és   vektorra és minden   valós számra.

Minden argumentumában additív:

  és
  minden     és   vektorra.

Mivel a skaláris szorzat nem a tényezőkkel azonos dimenziójú vektor, hanem skalár, azért valódi asszociativitás nem értelmezhető.

Általában  , hiszen az első szorzatban egy   a második szorzatban egy   irányú vektort kapunk.

Bilinearitás szerkesztés

A skalárszorzat bilineáris, azaz mindkét változójában lineáris. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges   skalárra és   vektorokra

(B1)   és

(B2)  .

A szimmetriatulajdoság miatt ezekből már következik, hogy

(B3)   és

(B4)  .

(B1) közvetlenül következik a definícióból, hiszen  )

A bilinearitás a (valós) skaláris szorzat egyik legfontosabb tulajdonsága amellett, hogy kiszámítható vele egy vektor normája (hossza). Ezeken alapul a skaláris szorzás alkalmazása a lineáris algebrában.

Példák szerkesztés

  • Legyen   és  ! Ekkor a skalárszorzat a közrezárt szögtől függ:
  • Ha a bezárt szög 0 fok, akkor  , így  
  • Ha a bezárt szög 60 fok, akkor  , ezért  
  • Ha a bezárt szög 90 fok, akkor  , emiatt  
  • Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott   bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha   és   vektor az   bázisban felírható:

 

 

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

 

Geometriai vonatkozások szerkesztés

 
Az a és b vektorok a θ közrezárt szöggel
 
 .
  az   vetülete  -re.

Az euklideszi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy   vektorra   a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha   egy másik vektor, akkor

 

ahol   és   jelöli az   és   vektor hosszát,   pedig az általuk bezárt szög.

Mivel   az   vektornak  -re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint  -nak   irányába eső komponensének és  -nek a szorzatát.

Mivel   nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha   és   vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.

Így a két vektor közötti szög:

 

A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.

Példa számítások szerkesztés

 
Két vektor közrezárt szögének számítása skaláris szorzattal

Az :   és    vektorok hossza:

  és  

A közrezárt szög koszinusza:

 

Tehát  

Geometriai vonatkozás bizonyítása szerkesztés

Vegyük   tetszőleges elemét

 

A Pitagorasz-tétel egymást követő alkalmazásával  -re (a hosszra) a következőt kapjuk

 

De ez ugyanaz, mint a

 

ebből arra a következtetésre jutunk, hogy egy   vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzetét adja.

Lemma:  .

Most vegyünk két vektort az origóban:  -t és  -t, melyek   szöget zárnak közre. Definiáljunk egy harmadik,   vektort:

 

ezzel alkottunk egy háromszöget  ,   és   oldalakkal. A koszinusztételt felírva:

 

A lemma alapján a hosszak négyzetének helyébe skaláris szorzást helyettesítve kapjuk, hogy

                    (1)

De mivel  , azt is tudjuk, hogy

 ,

ami a disztributív tulajdonság miatt

                      (2)

A két   egyenletet – (1) és (2) – egyenlővé téve

 

Kivonunk mindkét oldalról  -t és osztunk  -vel. Marad

 

Q.E.D.

Merőlegesség és merőleges vetítés szerkesztés

Két vektor, a  és   pontosan akkor merőleges, ha skalárszorzatuk nulla:

 

  merőleges vetülete az   által megadott irányra:

 

A vetület az a vektor, melynek a végpontja a   vektor egyenesére az   vektor végpontjából bocsátott merőleges talppontja. A   vektor merőleges az   vektorra.

Ha   egységvektor, akkor a képlet egyszerűbb:

 

Kapcsolat a vektoriális szorzással szerkesztés

A vektoriális szorzás egy másik művelet, aminek eredménye szintén vektor. A vektoriális szorzat merőleges a tényezők által kifeszített síkra, és hossza megegyezik a tényezők által kifeszített paralelogramma területével. A kétféle szorzást a következő szabályok kapcsolják össze:

[7]
  •  
  •  
  •  
  •  

Az első két szabály írja le a vegyes szorzatot, ami az   vektorok által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogatával egyezik meg.

Alkalmazások szerkesztés

A geometriában szerkesztés

A skaláris szorzással egyszerűbben bizonyíthatók tételek szögekről és távolságokról. Például a koszinusztétel:

 

Bizonyítás: A bevezetett vektorok elhelyezkedése szerint   A hossz négyzetre emelésével:

 

és így

 

Az analitikus geometriában szerkesztés

A skaláris szorzással ábrázolható egy egyenes egy síkban, egy sík egy térben, vagy általánosabban, egy hipersík bármely dimenziós térben:

 , ahol   támaszvektor és   normálvektor.

Az adott egyenes, sík, hipersík pontjai azok a pontok, amelyek megoldják ezt az egyenletet. Eltérően a paraméteres alaktól, itt nincsenek paraméterek.

A lineáris algebrában szerkesztés

A skalárszorzás segítségével egy lineáris egyenletrendszer minden egyenlete hipersíknak tekinthető. Legyen a rendszerben   egyenlet, a változók száma pedig  ! Ekkor

  úgy, hogy
 és  .

így a lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza hipersíkok metszeteként definiálható.

Fizikai alkalmazások szerkesztés

 
Ferde síkok a példához

A fizikában sok mennyiséget skaláris szorzattal definiálnak, mint például a   munkát:

 

ahol az   erő és az   út vektormennyiségek. Itt   az erőnek az út irányába mutató komponense,   pedig az út erő irányú komponense.

Példa: Egy   tömegű járművet   és   ferde síkján át mozgatják. A   munkát így számolhatjuk:

 

Általánosítás szerkesztés

A fenti tulajdonságokat tekintetbe véve a skalárszorzat általánosítható tetszőleges valós vagy komplex vektortérre. A skaláris szorzat egy függvény, ami két vektorhoz egy testelemet (skalárt) rendel, a megadott tulajdonságoknak megfelelően. Lehetséges, hogy több bilineáris forma is megfelel skaláris szorzatként. Komplex számtest fölött a definíciót módosítani kell, hogy a skaláris szorzat pozitív definit legyen, mivel általában nincs olyan komplex bilineáris forma, ami pozitív definit és szimmetrikus.

Az általánosított esetben a jelölések is különböznek az alapesettől. A vektorterek elemein nem jelölik, hogy vektorok. Az   és   vektorok skaláris szorzatát nem szorzóponttal, hanem hegyers zárójellel jelzik:  . További jelölések: főleg a kvantummechanikában  , lásd Bra-Ket-jelölés;   és  .

Definíciók szerkesztés

Egy   valós vektortéren egy skaláris szorzás egy   szimmetrikus pozitív definit bilineáris alak, vagyis tetszőleges   és   esetén teljesülnek:

  1. mindkét argumentumban lineáris:
    •  
    •  
    •  
    •  
  2. szimmetrikus:  
  3. pozitív definit:
    •  
    •   pontosan akkor, ha  

Egy   komplex vektortéren egy skaláris szorzás egy   hermitikus sesquilinearis forma, vagyis tetszőleges   és   esetén teljesülnek:

  1. sesquilinearis:
    •  
    •      (első argumentumban féllineáris)
    •  
    •      (második argumentumban lineáris)
  2. hermitikus:  
  3. pozitív definit:
    •   (Az, hogy   valós, következik a második feltételből)
    •   akkor és csak akkor, ha  

Egy skaláris szorzattal ellátott valós vagy komplex vektorteret skalárszorzatosa térnek vagy prehilbert-térnek neveznek. Skalárszorzattal ellátott véges valós vektortereket neveznek euklideszi vektortereknek; komplex esetben unitér terekről beszélnek. Így beszélnek euklideszi és unitér skalárszorzatokról is. Az euklideszi skalárszorzat kifejezést használják a fent bevezetett skalárszorzásra és a később leírt standard skalárszorzatra is  -ben.

Megjegyzések szerkesztés

  • Gyakran minden szimmetrikus bilineáris alakot, illetve hermitikus sesquilinearis formát skaláris szorzatnak neveznek; ezzel a szóhasználattal a fenti definíciók pozitív definit skalárszorzatokat írnak le.
  • A fent leírt axiómarendszerek nem minimálisak. A valós esetben a szimmetria miatt az első argumentumban való linearitásból következik, hogy a másik argumentumban is lineáris. Hasonlóan, a komplex esetben az Hermite-tulajdonságból és az első argumentumban való semilinearitásból következik a másik argumentumban való linearitás, és fordítva.
  • Komplex esetben a skaláris szorzatot időnként úgy definiálják, hogy az első argumentumban lineáris és a második argumentumban semilinearis. Ezt a verziót használják inkább a matematikában, különösen az analízisben; míg a fizikában főként a fenti definíciót részesítik előnyben. Lásd még: Bra- és Ket-vektorok. A két definíció abban különbözik, hogy másként hat a skaláris szorzat a homogenitásra:
  és       és  . Az additivitás mindkét verzióban ugyanaz. Ugyanúgy egyeznek a normák is.[8]
  • Egy prehilbert tér, ami teljes a skalárszorzat által indukált normára, Hilbert-tér.
  • A komplex és a valós eset közötti különbség abból adódik, hogy egy komplex hermitikus sesquilinearis forma a valósban megfelel egy szimmetrikus bilineáris formának.

Példák szerkesztés

Standard skalárszorzat Rn és Cn terekben szerkesztés

Az euklideszi skalárszorzat Descartes-koordinátákban való ábrázolásából kiindulva definiáljuk a skalárszorzatot az  térben:

 

ahol  . A fent definiált skalárszorzat az euklideszi térben megfelel az   speciális esetnek.

A komplex     dimenziós vektortér esetén a standard skalárszorzat

 

ahol  , és a felülvonás a komplex konjugálást jelenti. A matematikában gyakran az alternatív definíciót használják, ahol a második argumentumban konjugálnak:

 

A standard skalárszorzat  -ben, illetve  -ben kifejezhető mátrixszorzásként, ahol a vektorokat  -es mátrixként értelmezzük. Valós esetben

  ahol   az   vektorból transzponált sorvektor. Komplex esetben (az első argumentumban konjugáló típus):
  ahol   az  -hez adjungált sorvektor.

Általánosított skalárszorzatok Rn és Cn terekben szerkesztés

Általánosabban, bármely szimmetrikus és pozitív definit   mátrix esetén az

 

mátrixszorzat szintén skaláris szorzat. Hasonlóan, komplex esetben bármely hermitikus pozitív definit   mátrix esetén az

 

mátrixszorzat is skaláris szorzat. A hegyes zárójelek a standard skalárszorzatot, az   indexszel ellátott hegyes zárójelek az   mátrix segítségével definiált skaláris szorzatot jelölik.

Az  , illetve   terekben minden skaláris szorzat ábrázolható ezen a módon.

Skalárszorzatok függvényekhez szerkesztés

A valós értékű,   intervallumon értelmezett folytonos függvények végtelen dimenziós vektortere esetén értelmezhető az  -skalárszorzat:

 

minden   függvényre. A folytonosság követelménye gyengíthető, így az 'L2-skalárszorzat lépcsőfüggvények esetén is jóldefiniált.

Differenciálható függvények esetén definiálható a  -skalárszorzat is:

 

minden   esetén. A differenciálhatóság követelménye itt is gyengíthető, lásd Szoboljev-terek.

Mindezek a skalárszorzatok kiterjeszthetők komplex értékű esetekre is:

 

Frobenius-skalárszorzat mátrixok esetén szerkesztés

A valós   mátrixok   terén definiálható

 

skalárszorzat, ahol  .

A komplex eset hasonló: a komplex  -es mátrixok   terében

  szintén skalárszorzat, ahol  .

Ezeket a skalárszorzatokat Frobenius-skalárszorzatnak, és az általuk definiált normát Frobenius-normának nevezzük.

Norma, szög és ortogonalitás szerkesztés

Egy euklideszi térben definiált vektor hosszának általános vektorterekben a skalárszorzat által indukált norma felel meg. Az indukált norma:

 

ami megfelel az euklideszi térben a standard skalárszorzatból számítható skalárszorzatnak. A normaaxiómák által megkövetelt háromszög-egyenlőtlenség a Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenségből következik:

 

Ha   akkor ez az egyenlőtlenség átalakítható úgy, mint:

 

Ebből valós vektorterekben kiszámítható a közrezárt szög koszinusza, amivel meghatározható a közrezárt szög is:

 

Az így kiszámított szög 0° és 180° közé esik, tehát 0 és   közé. Komplex vektorterek esetében többféle definíció is létezik.[9]

Általános vektorterekben, ha a skaláris szorzat nullával egyenlő, akkor a vektorok ortogonálisak (ez a merőlegesség általánosítása):

 

Ábrázolás mátrixszal szerkesztés

Legyen   egy   dimenziós vektortér,   egy bázisa  -nek! Ekkor minden   skalárszorzat leírható egy  -es mátrixszal, ami a skaláris szorzat Gram-mátrixa, melynek szokásos jelölése  . Ez írja le a bázisvektorok skalárszorzatait:

    ahol       minden   esetén.

A skaláris szorzat kifejezhető a bázis segítségével: Ha az   vektorok a   bázisban úgy vannak felírva, mint:

    és    

így valós esetben

 

Jelölje most   a koordinátavektorokat:

    und    

így teljesül továbbá, hogy

 

ahol a mátrixszorzásból egy  -es mátrix adódik, azaz egy skalár. Itt   az   oszlopvektorból transzponált sorvektor.

Komplex esetben hasonlóan:

 

ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti, és   az   oszlopvektorhoz adjungált sorvektor.

Ha   ortonormált bázis, azaz   minden  -re, és   minden   esetén, akkor a   Gram-mátrix az egységmátrix, és

  valós esetben,
  komplex esetben.

Ortonormált bázis esetén az   és   vektorok skalárszorzata megfelel az   és   illetve   koordinátavektorok standard skalárszorzatának.

További általánosítás szerkesztés

A pozitív definit követelmény eltávolításával, de a szimmetria megtartásával pszeudo-skalárszorzatokhoz jutunk. Erre példa a speciális relativitáselméletben a Minkowski-vektortér, ami a gravitációelméletben érintőtérként is fellép.

Jegyzetek szerkesztés

  1. Taschenbuch der Mathematik, 5., Verlag Harri Deutsch, 189. o. (2000). ISBN 3-8171-2005-2 
  2. Hajós 1979 264. old.
  3. Hajós 1979 287-343. old.
  4. Hajós 1979 264-343. old.
  5. Joseph-Louis Lagrange. Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires, Oeuvres de Lagrange. T. 3 / publiées par les soins de M. J.-A. Serret et G. Darboux. Paris: Gauthier-Villars (1867-1892) 
  6. J. Willard Gibbs: Vector analysis, a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. University of California Berkeley. 1929. 56. o. Hozzáférés: 2019. december 2.  
  7. Liesen, Mehrmann. Lineare Algebra, 168. o. 
  8. Walter Rudin. Reelle und komplexe Analysis, 2. javított, München: Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 91. o. (2009) 
  9. Klaus Scharnhorst. Angles in complex vector spaces, 95–103. o. (2001) 

Források szerkesztés

  • Hajós 1979: Hajós, György. Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Budapest: Tankönyvkiadó (1979). ISBN 9631747360 
  • Lang 1971: Lang, Serge. Linear Algebra, 2. kiadás, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley (1971). ISBN 0201042118 
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15. Auflage. Vieweg Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
  • Walter Rudin. Reelle und komplexe Analysis, 2. verbesserte, München: Oldenbourg Wissenschaftsverlag (2009) 
  • Knabner, Barth. Lineare Algebra. Springer Spektrum (2012) 

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dot product című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Skalarprodukt című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk szerkesztés

Kapcsolódó szócikkek szerkesztés