Merőlegesség

(Merőleges szócikkből átirányítva)

Az elemi geometriában két térelem (egyenesek, síkok, …) merőleges, ha derékszöget zárnak be egymással. A lineáris algebrában ezt a relációt ortogonalitásnak hívják. Két vektor ortogonális, ha skalárszorzatuk nulla. Ezt a fogalmat továbbviszik a lineáris leképezésekre, amik megtartják a skalárszorzatot, ezzel az ortogonalitást is.

Az és a szakaszok merőlegesek, mivel derékszöget zárnak be

Az ortogonalitás általánosabb értelemben számos matematikai (és köznapi) relációra utalhat, ezekben az esetekben valamiféle egymást nem átfedő, nem korreláló vagy független objektumokra lehet gondolni.

Jelölései szerkesztés

Az ortogonális ὀρθός orthos „helyes” és γωνία gonia „szög”) együtt derékszöget jelent. A merőlegest sokszor normálisnak mondják (latin: norma „mérték”, a derékszög jelentésben. A normális elnevezést elterjedten használják a matematikában.

Jelöljön   és   két egyenest, síkot vagy vektort. Ezt így írják, ha egymásra merőlegesek:

 

és ha nem merőlegesek:

 .

Az angol perpendicular szó alapján HTML kódja ⊥ és a LaTeX matematikai környezetében \perp jelöli. A Unicode ⊥ jelének kódja U+27C2.

A geometriában szerkesztés

Az elemi geometriában szerkesztés

Az elemi geometriában a térelemek merőlegesek, ha derékszöget, vagyis 90°-ot zárnak be.

  • Egy egyenes merőleges egy síkra, ha irányvektora normálvektora (normálisa) a síknak.
  • Egy sík merőleges egy másik síkra, ha tartalmazza annak egy normálisát.
  • Egy egyenes, sík merőleges egy görbére, ha a metszésponti érintőre, vagy érintősíkra merőleges.
  • Két görbe merőlegesen metszi egymást egy pontban, ha az ottani érintőik merőlegesek.

A koordinátageometriában szerkesztés

Két vektor,   és   szöge a Descartes-féle koordináta-rendszerben a skalárszorzattal számítható:

 

ahol   és   jelöli a vektorok hosszát, és   a két vektor által bezárt szög koszinusza. Ha a két vektor derékszöget zár be, akkor:

 .

Megfordítva, két vektor merőleges, vagy ortogonális, ha skaláris szorzatuk nulla. Tehát a nullvektor minden vektorra merőleges.

Ha az euklideszi síkon két egyenes egyenlete

     és    

akkor merőlegesek akkor és csak akkor, ha  .

A szintetikus geometriában szerkesztés

A merőlegességi reláció axiomatikus leírással vezethető be az illeszkedési síkokon.

A lineáris algebrában szerkesztés

Vektorok szerkesztés

A lineáris algebra a koordinátageometriában használt definíciót viszi tovább ortogonalitás néven, és terjeszti ki magasabb, akár végtelen dimenziós, vagy komplex vektorterekre, ahol a skalárszorzat már be van vezetve. A skaláris szorzatra teljesülnie kell a Pitagorasz-tételnek, a paralelogrammaszabálynak és a polarizációs egyenlőségnek. A skaláris szorzatot   jelöli. Két vektor   és   definíció szerint merőleges, ha skaláris szorzatuk nulla, azaz:

 

Például az   térben a   és a   vektorok merőlegesek, mivel

 

A vektorok egy halmaza ortogonális rendszer, ha a benne levő vektorok páronként ortogonálisak. Ha emellett még minden elem normája egy, akkor a halmaz ortonormált rendszer. Ha egy ortogonális rendszer nem tartalmazza a nullvektort, akkor elemei függetlenek is, és lineáris burkuk bázisát alkotják. Ha az ortonormált vektorok egy vektortér bázisát alkotják, akkor az a bázis ortonormált bázis. Ha a   vektorok egy ortonormált bázis elemei, akkor:

 ,

ahol   a Kronecker-delta.

Véges dimenziós vektorterekben mindig van ortonormált bázis. Végtelen dimenzióban a skalárszorzattal ellátott terek a Hilbert-terek; ezekben is mindig van ortonormált bázis. Véges dimenzióban és szeparábilis Hilbert-terekben Gram-Schmidt-ortogonalizációval található is ilyen bázis. Ortonormált bázisra példa az   tér szokásos derékszögű bázisa:  .

A kvantummechanikában egy rendszer állapotai vektorteret alkotnak; ezért lehet szó ortogonális állapotokról.

Mátrixok szerkesztés

Az   négyzetes mátrix ortogonális, ha skalárszorzattartó, vagyis

 

minden   vektorra. Az   mátrix akkor és csak akkor ortogonális, ha oszlopai vagy sorai ortonormálisak. Ekvivalensen,

    illetve    .

A komplex mátrixokra is felépíthető egy hasonló fogalom, az unitér mátrixok fogalma, mely esetén a fenti egyenlőségben a mátrix transzponáltja helyett a transzponáltjának komplex konjugáltja áll.
Az  -es ortogonális mátrixok csoportja az   ortogonális csoportot.

Leképezések szerkesztés

Ha   véges dimenziós euklideszi vektortér, akkor a   lineáris leképezés ortogonális, ha

 

minden   vektorra. Az ortogonális leképezés tehát megtartja a vektorok által bezárt szöget, és az ortogonális vektorokat ortogonális vektorokra képezi le. Egy lineáris leképezés pontosan akkor ortogonális, ha ortogonális bázisban vett mátrixa ortogonális. Továbbá az ortogonális leképezés egybevágósági transzformáció, és megőrzi a vektorok hosszát, távolságát és szögét is.

Az ortogonális leképezések nem tévesztendők össze az egymásra ortogonális leképezésekkel. Ezek olyan leképezések, amelyek vektorként foghatók fel, és ezeknek a vektoroknak a skalárszorzata nulla.

Vetítések szerkesztés

Ha   valós, vagy komplex véges dimenziós skalárszorzattal ellátott vektortér, akkor minden   altérhez van vetítés az ortogonális komplemens irányába. Ez az   altérre vett ortogonális vetítés. Ez egy egyértelműen meghatározott   leképezés, amire teljesülnek a következők minden  -re:

  •   és
  •     minden    

vektorra. Hogyha   véges dimenziós Hilbert-tér, akkor ez a zárt alterekre is teljesül. Ekkor   nem egyértelmű, de választható folytonosnak.

A funkcionálanalízisben szerkesztés

A funkcionálanalízis végtelen dimenziós terekkel foglalkozik, ahol a vektoroknak függvények, a lineáris leképezéseknek funkcionálok felelnek meg.

Két függvény,   és   ortogonális egymásra, ha

 

ahol a skaláris szorzatra teljesülnie kell a Pitagorasz-tételnek, a paralelogrammaszabálynak és a polarizációs egyenlőségnek. Ilyen például a folytonos valós értékű  -n értelmezett L2-beli függvények skalárszorzata:

 

Például  -en az   és az   függvények ortogonálisak, mivel

 .

A teljes skalárszorzatos terekben (Hilbert-terekben) ortogonális bázisok és ortogonális polinomok adhatók meg.

Ortogonális függvények bővebben szerkesztés

L2 terekben a skalárszorzat súlyfüggvényt is tartalmazhat:

 

ahol a   súlyfüggvény majdnem mindenütt nemnegatív.

Ennek megfelelően az ortogonális függvények:

 

és a norma:

 

Az { fi : i = 1, 2, 3, ... } halmaz elemei:

  • ortogonálisak az [a,b] intervallumon, ha
 
  • ortonormálisak az [a,b] intervallumon, ha
 

ahol

 

a Kronecker-delta. Más szóval, páronként ortogonálisak, és ortonormált sorozat esetén mindegyikük normája 1.

Példák szerkesztés

  • Az(1, 3, 2), (3, −1, 0), (1/3, 1, −5/3) vektorok ortogonálisak egymásra, mivel (1)(3) + (3)(−1) + (2)(0) = 0, (3)(1/3) + (−1)(1) + (0)(−5/3) = 0, és (1)(1/3) + (3)(1) + (2)(−5/3) = 0.
  • Az (1, 0, 1, 0, ...)T és a (0, 1, 0, 1, ...)T vektorok ortogonálisak egymásra. Általában, Z2n-beli vektorokra:
 
egy pozitív a-ra, és 1 ≤ ka −1-re ezek a vektorok ortogonálisak, például (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)T, (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)T, (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0)T ortogonálisak.
  • Tekintsük a 2t + 3 and 5t2 + t − 17/9. másodfokú függvényeket! Ezek ortogonálisak a hagyományos L2-beli skalárszorzatra a −1 és 1 közötti intervallumon. Szorzatuk 10t3 + 17t2 − 7/9 t − 17/3 és:
 
  • Az 1, sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... függvények ortogonálisak egymásra a Lebesgue-mérték szerint a 0 és a 2π által határolt intervallumban. Ezen alapul a Fourier-sorok elmélete.

Ortogonális polinomok szerkesztés

Nevezetes ortogonális polinomsorozatok:

  • Az Hermite-polinomok ortogonálisak a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényével, mint súlyfüggvénnyel.
  • A Legendre-polinomok ortogonálisak a −1 és 1 közötti intervallumon vett egyenletes eloszlás, mint súlyfüggvény szerint.
  • A Laguerre-polinomok ortogonálisak az exponenciális eloszlás súlyfüggvénnyel. Az általánosított Laguerre-polinomok súlyfüggvénye a gamma-eloszlás.
  • Az elsőfajú Csebisev-polinomok ortogonálisak az   mérték szerint
  • A másodfajú Csebisev-polinomok ortogonálisak a Wigner félkör eloszlás szerint.

Ortogonális állapotok szerkesztés

A kvantummechanikában az Hermite-operátor két sajátállapota,   és  , ortogonálisak, ha különböző sajátértékek tartoznak hozzájuk. Braket-jelöléssel,   vagy   és   ugyanannak a sajátértéknek felelnek meg. Ez abból adódik, hogy a Schrödinger-egyenlet a Sturm–Liouville egyenlet speciális esete, vagy a megfigyelhető mennyiségeket Hermite-operátorok adják meg (Heisenberg-jelölés).

A kombinatorikában szerkesztés

Két latin négyzet ortogonális, ha megfelelő elemenkénti párosításuk az összes lehetséges számpárt kiadja.[1]

Jegyzetek szerkesztés

  1. Hedayat, A. et al. Orthogonal arrays: theory and applications. Springer, 168. o. (1999). ISBN 978-0-387-98766-8 

Források szerkesztés

  • Elemente der Mathematik. Lineare Algebra/Analytische Geometrie Leistungskurs. Schroedel Verlag, 2004, 64.
  • Szinusz-koszinusz rendszer
  • Stoyan Gisbert-Takó Galina: Numerikus módszerek