Főmenü megnyitása

Merőlegesség

(Merőleges szócikkből átirányítva)
Az és a szakaszok merőlegesek, mivel derékszöget zárnak be

Az elemi geometriában két térelem (egyenesek, síkok, …) merőleges, ha derékszöget zárnak be egymással. A lineáris algebrában ezt a relációt ortogonalitásnak hívják. Két vektor ortogonális, ha skalárszorzatuk nulla. Ezt a fogalmat továbbviszik a lineáris leképezésekre, amik megtartják a skalárszorzatot, ezzel az ortogonalitást is.

Az ortogonalitás általánosabb értelemben számos matematikai (és köznapi) relációra utalhat, ezekben az esetekben valamiféle egymást nem átfedő, nem korreláló vagy független objektumokra lehet gondolni.

JelöléseiSzerkesztés

Az ortogonális ὀρθός orthos „helyes” és γωνία gonia „szög”) együtt derékszöget jelent. A merőlegest sokszor normálisnak mondják (latin: norma „mérték”, a derékszög jelentésben. A normális elnevezést elterjedten használják a matematikában.

Jelöljön   és   két egyenest, síkot vagy vektort. Ezt így írják, ha egymásra merőlegesek:

 

és ha nem merőlegesek:

 .

Az angol perpendicular szó alapján HTML kódja ⊥ és a LaTeX matematikai környezetében \perp jelöli. A Unicode ⊥ jelének kódja U+27C2.

A geometriábanSzerkesztés

Az elemi geometriábanSzerkesztés

Az elemi geometriában a térelemek merőlegesek, ha derékszöget, vagyis 90°-ot zárnak be.

  • Egy egyenes merőleges egy síkra, ha irányvektora normálvektora (normálisa) a síknak.
  • Egy sík merőleges egy másik síkra, ha tartalmazza annak egy normálisát.
  • Egy egyenes, sík merőleges egy görbére, ha a metszésponti érintőre, vagy érintősíkra merőleges.
  • Két görbe merőlegesen metszi egymást egy pontban, ha az ottani érintőik merőlegesek.

A koordinátageometriábanSzerkesztés

Két vektor,   és   szöge a Descartes-koordinátarendszerben a skalárszorzattal számítható:

 

ahol   és   jelöli a vektorok hosszát, és   a két vektor által bezárt szög koszinusza. Ha a két vektor derékszöget zár be, akkor:

 .

Megfordítva, két vektor merőleges, vagy ortogonális, ha skaláris szorzatuk nulla. Tehát a nullvektor minden vektorra merőleges.

Ha az euklideszi síkon két egyenes egyenlete

     és    

akkor merőlegesek akkor és csak akkor, ha  .

A szintetikus geometriábanSzerkesztés

A merőlegességi reláció axiomatikus leírással vezethető be az illeszkedési síkokon.

A lineáris algebrábanSzerkesztés

VektorokSzerkesztés

A lineáris algebra a koordinátageometriában használt definíciót viszi tovább ortogonalitás néven, és terjeszti ki magasabb, akár végtelen dimenziós, vagy komplex vektorterekre, ahol a skalárszorzat már be van vezetve. A skaláris szorzatra teljesülnie kell a Pitagorasz-tételnek, a paralelogrammaszabálynak és a polarizációs egyenlőségnek. A skaláris szorzatot   jelöli. Két vektor   és   definíció szerint merőleges, ha skaláris szorzatuk nulla, azaz:

 

Például az   térben a   és a   vektorok merőlegesek, mivel

 

A vektorok egy halmaza ortogonális rendszer, ha a benne levő vektorok páronként ortogonálisak. Ha emellett még minden elem normája egy, akkor a halmaz ortonormált rendszer. Ha egy ortogonális rendszer nem tartalmazza a nullvektort, akkor elemei függetlenek is, és lineáris burkuk bázisát alkotják. Ha az ortonormált vektorok egy vektortér bázisát alkotják, akkor az a bázis ortonormált bázis. Ha a   vektorok egy ortonormált bázis elemei, akkor:

 ,

ahol   a Kronecker-delta.

Véges dimenziós vektorterekben mindig van ortonormált bázis. Végtelen dimenzióban a skalárszorzattal ellátott terek a Hilbert-terek; ezekben is mindig van ortonormált bázis. Véges dimenzióban és szeparábilis Hilbert-terekben Gram-Schmidt-ortogonalizációval található is ilyen bázis. Ortonormált bázisra példa az   tér szokásos derékszögű bázisa:  .

A kvantummechanikában egy rendszer állapotai vektorteret alkotnak; ezért lehet szó ortogonális állapotokról.

MátrixokSzerkesztés

Az   négyzetes mátrix ortogonális, ha skalárszorzattartó, vagyis

 

minden   vektorra. Az   mátrix akkor és csak akkor ortogonális, ha oszlopai vagy sorai ortonormálisak. Ekvivalensen,

    illetve    .

A komplex mátrixokat hasonló esetben unitérnek nevezik. Az  -es ortogonális mátrixok csoportja az   ortogonális csoportot.

LeképezésekSzerkesztés

Ha   véges dimenziós euklideszi vektortér, akkor a   lineáris leképezés ortogonális, ha

 

minden   vektorra. Az ortogonális leképezés tehát megtartja a vektorok által bezárt szöget, és az ortogonális vektorokat ortogonális vektorokra képezi le. Egy lineáris leképezés pontosan akkor ortogonális, ha ortogonális bázisban vett mátrixa ortogonális. Továbbá az ortogonális leképezés egybevágósági transzformáció, és megőrzi a vektorok hosszát, távolságát és szögét is.

Az ortogonális leképezések nem tévesztendők össze az egymásra ortogonális leképezésekkel. Ezek olyan leképezések, amelyek vektorként foghatók fel, és ezeknek a vektoroknak a skalárszorzata nulla.

VetítésekSzerkesztés

Ha   valós, vagy komplex véges dimenziós skalárszorzattal ellátott vektortér, akkor minden   altérhez van vetítés az ortogonális komplemens irányába. Ez az   altérre vett ortogonális vetítés. Ez egy egyértelműen meghatározott   leképezés, amire teljesülnek a következők minden  -re:

  •   és
  •     minden    

vektorra. Hogyha   véges dimenziós Hilbert-tér, akkor ez a zárt alterekre is teljesül. Ekkor   nem egyértelmű, de választható folytonosnak.

A funkcionálanalízisbenSzerkesztés

A funkcionálanalízis végtelen dimenziós terekkel foglalkozik, ahol a vektoroknak függvények, a lineáris leképezéseknek funkcionálok felelnek meg.

Két függvény,   és   ortogonális egymásra, ha

 

ahol a skaláris szorzatra teljesülnie kell a Pitagorasz-tételnek, a paralelogrammaszabálynak és a polarizációs egyenlőségnek. Ilyen például a folytonos valós értékű  -n értelmezett L2-beli függvények skalárszorzata:

 

Például  -en az   és az   függvények ortogonálisak, mivel

 .

A teljes skalárszorzatos terekben (Hilbert-terekben) ortogonális bázisok és ortogonális polinomok adhatók meg.

Ortogonális függvények bővebbenSzerkesztés

L2 terekben a skalárszorzat súlyfüggvényt is tartalmazhat:

 

ahol a   súlyfüggvény majdnem mindenütt nemnegatív.

Ennek megfelelően az ortogonális függvények:

 

és a norma:

 

Az { fi : i = 1, 2, 3, ... } halmaz elemei:

  • ortogonálisak az [a,b] intervallumon, ha
 
  • ortonormálisak az [a,b] intervallumon, ha
 

ahol

 

a Kronecker-delta. Más szóval, páronként ortogonálisak, és ortonormált sorozat esetén mindegyikük normája 1.

PéldákSzerkesztés

  • Az(1, 3, 2), (3, −1, 0), (1/3, 1, −5/3) vektorok ortogonálisak egymásra, mivel (1)(3) + (3)(−1) + (2)(0) = 0, (3)(1/3) + (−1)(1) + (0)(−5/3) = 0, és (1)(1/3) + (3)(1) + (2)(−5/3) = 0.
  • Az (1, 0, 1, 0, ...)T és a (0, 1, 0, 1, ...)T vektorok ortogonálisak egymásra. Általában, Z2n-beli vektorokra:
 
egy pozitív a-ra, és 1 ≤ ka −1-re ezek a vektorok ortogonálisak, például (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)T, (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)T, (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0)T ortogonálisak.
  • Tekintsük a 2t + 3 and 5t2 + t − 17/9. másodfokú függvényeket! Ezek ortogonálisak a hagyományos L2-beli skalárszorzatra a −1 és 1 közötti intervallumon. Szorzatuk 10t3 + 17t2 − 7/9 t − 17/3 és:
 
  • Az 1, sin(nx), cos(nx) : n = 1, 2, 3, ... függvények ortogonálisak egymásra a Lebesgue-mérték szerint a 0 és a 2π által határolt intervallumban. Ezen alapul a Fourier-sorok elmélete.

Ortogonális polinomokSzerkesztés

Nevezetes ortogonális polinomsorozatok:

  • Az Hermite-polinomok ortogonálisak a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényével, mint súlyfüggvénnyel.
  • A Legendre-polinomok ortogonálisak a −1 és 1 közötti intervallumon vett egyenletes eloszlás, mint súlyfüggvény szerint.
  • A Laguerre-polinomok ortogonálisak az exponenciális eloszlás súlyfüggvénnyel. Az általánosított Laguerre-polinomok súlyfüggvénye a gamma-eloszlás.
  • Az elsőfajú Csebisev-polinomok ortogonálisak az   mérték szerint
  • A másodfajú Csebisev-polinomok ortogonálisak a Wigner félkör eloszlás szerint.

Ortogonális állapotokSzerkesztés

A kvantummechanikában az Hermite-operátor két sajátállapota,   és  , ortogonálisak, ha különböző sajátértékek tartoznak hozzájuk. Braket-jelöléssel,   vagy   és   ugyanannak a sajátértéknek felelnek meg. Ez abból adódik, hogy a Schrödinger-egyenlet a Sturm–Liouville egyenlet speciális esete, vagy a megfigyelhető mennyiségeket Hermite-operátorok adják meg (Heisenberg-jelölés).

A kombinatorikábanSzerkesztés

Két latin négyzet ortogonális, ha megfelelő elemenkénti párosításuk az összes lehetséges számpárt kiadja.[1]

JegyzetekSzerkesztés

  1. Hedayat, A. et al. Orthogonal arrays: theory and applications. Springer, 168. o. (1999). ISBN 978-0-387-98766-8 

ForrásokSzerkesztés

  • Elemente der Mathematik. Lineare Algebra/Analytische Geometrie Leistungskurs. Schroedel Verlag, 2004, 64.
  • Szinusz-koszinusz rendszer
  • Stoyan Gisbert-Takó Galina: Numerikus módszerek