Funkcionál

A matematikában, különösen a funkcionálanalízis területén, hagyományosan funkcionálnak nevezzük azokat a függvényeket, melyek vektortérből képeznek a vektortér alaptestére, népszerűen fogalmazva a skalár-értékű vektorfüggvényeket. Az analízisben igen természetesen fordul elő függvények vektortere, ahol a funkcionál mint függvények függvénye manifesztálódik. A funkcionálok használata a variációszámításból ered, ahol azokat a függvényeket keresik, amiken egy bizonyos funkcionál a minimumát veszi fel. Különösen fontos alkalmazása - és nem kevésbé tipikus - a fizikában, amikor egynémely rendszer olyan állapotát keressük, amely minimalizálja a rendszer hatását.

Definíció

$F\,$ pontosan akkor funkcionál, ha létezik $V\,\,\mathbb {K}$ feletti vektortér, hogy $F\in \mathbb {K} ^{V}$, ahol $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R,\,C} \}$. $F\,$ funkcionál akkor lineáris, ha bármely $V\ni x,y$-ra és $\lambda \in \mathbb {K}$-ra $F(x+y)=F(x)+F(y)\,$, és $F(\lambda x)=\lambda F(x)\,$.

Talán pontatlanabbul, de nem csak matematikusoknak érthetően: a funkcionál olyan függvény, amely függvényhez számot rendel. (Ezzel szemben a (szűkebb értelemben vett) függvény olyan függvény, amely számhoz számot, elemhez elemet, az operátor pedig olyan függvény, amely függvényhez függvényt rendel.) Ne tévesszen meg a függvény szó kétféle használata; a többi név speciálisabb.

Példák

Határozott integrál

A Riemann-integrálható függvények teréből értelmezett lineáris funkcionál az intervallumon vett határozott integrál:

$f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\,dx$.

Algebrai duális

Legyen $V\,$ vektortér $\mathbb {K}$ felett.$V\,$ algebrai duálisa, $V^{*}\,$, a $V\,$-ből $\mathbb {K}$-ba ható lineáris funkcionálok a tere. Ekkor

$V^{*}=\{f:V\rightarrow \mathbb {K} ;\,y\mapsto \langle x,y\rangle \,|\,\forall x\in V\}\,$, ahol $\langle .,.\rangle$ euklideszi skalárszorzás,

ugyanis $\Phi :V\rightarrow V^{*};\,x\mapsto (y\mapsto \langle x,y\rangle )\,$ izomorfia $V\,$ és $V^{*}\,$ között.

Források

Kolmogorov, A. N. – Fomin, Sz. V.: A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei; fordította: Szigeti Ferenc; Typotex 2010.