Funkcionál
A matematikában, különösen a funkcionálanalízis területén, hagyományosan funkcionálnak nevezzük azokat a függvényeket, melyek vektortérből képeznek a vektortér alaptestére, népszerűen fogalmazva a skalár-értékű vektorfüggvényeket. Az analízisben igen természetesen fordul elő függvények vektortere, ahol a funkcionál mint függvények függvénye manifesztálódik. A funkcionálok használata a variációszámításból ered, ahol azokat a függvényeket keresik, amiken egy bizonyos funkcionál a minimumát veszi fel. Különösen fontos alkalmazása - és nem kevésbé tipikus - a fizikában, amikor egynémely rendszer olyan állapotát keressük, amely minimalizálja a rendszer hatását.
Definíció
szerkesztéspontosan akkor funkcionál, ha létezik feletti vektortér, hogy , ahol . funkcionál akkor lineáris, ha bármely -ra és -ra , és .
Talán pontatlanabbul, de nem csak matematikusoknak érthetően: a funkcionál olyan függvény, amely függvényhez számot rendel. (Ezzel szemben a (szűkebb értelemben vett) függvény olyan függvény, amely számhoz számot, elemhez elemet, az operátor pedig olyan függvény, amely függvényhez függvényt rendel.) Ne tévesszen meg a függvény szó kétféle használata; a többi név speciálisabb.
Példák
szerkesztésHatározott integrál
szerkesztésA Riemann-integrálható függvények teréből értelmezett lineáris funkcionál az intervallumon vett határozott integrál:
- .
Algebrai duális
szerkesztésLegyen vektortér felett. algebrai duálisa, , a -ből -ba ható lineáris funkcionálok a tere. Ekkor
- , ahol euklideszi skalárszorzás,
ugyanis izomorfia és között.
Források
szerkesztésKolmogorov, A. N. – Fomin, Sz. V.: A függvényelmélet és a funkcionálanalízis elemei; fordította: Szigeti Ferenc; Typotex 2010.