Csebisev-polinomok

A matematikában a Csebisev-polinomok olyan ortogonális polinomsorozatok, melyek kapcsolatban állnak a De Moivre képlettel, és amelyeket rekurzív módon lehet definiálni. Nevüket Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikus után kapták. Általában különbséget tesznek elsőfajú Csebisev-polinomok (jelölés Tn), illetve másodfajú Csebisev-polinomok között (jelölés Un).

A Tn, és az Un Csebisev-polinomok n-ed fokúak, és bármelyik fajta Csebisev-polinomok sorozata polinomsorozatot alkot.

A Tn Csebisev-polinomok a lehető legnagyobb vezető együtthatóval rendelkeznek, figyelembe véve azt a tényt, hogy abszolút értékük a [-1,1] intervallumon kötve van az 1 által.

A Csebisev-polinomok fontos szerepet játszanak a közelítő módszerek elméletében, mivel az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökeit, melyeket Csebisev-csomópontoknak is hívnak, csomópontokként használják a polinomiális interpolációnál. Az így kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatásból származó problémát.

A differenciálegyenletek területén a Csebisev-differenciálegyenletek megoldásaként találunk rájuk:

és

Az első egyenletből kapjuk Tn-t, míg a másodikból Un-t. Ezek az egyenletek a Sturm-Liouville differenciálegyenletek speciális esetei.

DefiníciókSzerkesztés

 
Az első öt T típusú Csebisev-polinom ábrázolása
 
Az első öt U típusú Csebisev-polinom ábrázolása

Az elsőfajú Csebisev-polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:

 

A megszokott generátorfüggvény Tn-re:

 

Az exponenciális generátorfüggvény:

 

A kétdimenziós potenciálelmélet területén releváns generátorfüggvény:

 

A másodfajú Csebisev-polinomokat a következő rekurenciás összefüggés definiálja:

 

A megszokott generátorfüggvény Un-re:

 

Az exponenciális generátorfüggvény:

 

Kapcsolatok az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok közöttSzerkesztés

Az első- illetve másodfajú Csebisev-polinomok megfelelnek a Lucas sorozat egy kiegészítő párjának n(P,Q) és Ũn(P,Q), P = 2x és Q = 1 paraméterekkel:

 

Két kölcsönös rekurenciás összefüggést is kielégítenek:

 

Az első- illetve másodfajú Csebisevpolinomokat a következő összefüggések is összekapcsolják:

 

Explicit kifejezésekSzerkesztés

A Csebisev-polinomok meghatározásának különböző megközelítései különböző explicit kifejezésekhez vezetnek, mint például:

 
 

ahol a szummajel alapja azt jelzi, hogy a j = 0 hozzájárulását felezni kell, ha megjelenik.

 

ahol 2F1 hipergeometrikus függvény.

PéldákSzerkesztés

ElsőfajúSzerkesztés

 
Az első néhány elsőfajú Csebisev-polinom a −1 < x < 1 intervallumon: T0, T1, T2, T3, T4 és T5.

Az első néhány elsőfajú Csebisev-polinom  A028297

 

MásodfajúSzerkesztés

 
Az első néhány másodfajú Csebisev-polinom a −1 < x < 1 intervallumon: U0, U1, U2, U3, U4 és U5. Bár nem látható a képen, de Un(1) = n + 1 és Un(−1) = (n + 1)(−1)n.

Az első néhány másodfajú Csebisev-polinom  A053117

 

ForrásokSzerkesztés