Csebisev-csomópontok

A numerikus analízisben a Csebisev-csomópontok speciális valós algebrai számok, nevezetesen az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökei. Ezeket gyakran használják csomópontként polinomiális interpolációban, mert a kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatás mértékét.

A Csebisev-csomópontok egyenértékűek az n egyenlőközű pontok x koordinátáival egy félkörön (itt, n=10).

Meghatározás

Az első 50-es csebisevi polinom nullái

Egy adott n pozitív egész számra a ( − 1, 1) intervallumon lévő Csebisev-csomópontok a következők:

$x_{k}=\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.$

Ezek az elsőfajú Csebisev-polinom n-ed fokú gyökei. Egy tetszőleges [ a, b ] intervallumon lévő csomópontoknál affin transzformáció használható:

${\displaystyle }$$x_{k}={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(b-a)cos{\biggl (}{\frac {2k-1}{2n}}\pi {\biggr )},\qquad k=1,...,n.$

Közelítés

A Csebisev-csomópontok fontosak a közelítéselméletben, mert különösen jó csomópontokat alkotnak a polinomiális interpolációhoz. Adott ƒ függvény $[-1,+1]$intervallumon és n darab $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$pont. Ezen az intervallumon, az interpolációs polinom az az egyedülálló legfeljebb $n-1$-ed fokú $P_{n-1}$ polinom melynek minden $x_{i}$ponton $f(x_{i})$értéke van. Az interpolációs hiba a $x$-re:

$f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})$

néhány (x-től függő) $\xi$-ra a [−1,1] intervallumon. Ezt minimalizáljuk

${\displaystyle }$$\max _{x\in [-1,1]}\left|\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\right|.$

Ezen produs egy n fokú monic polinom. Kimutatható, hogy az ilyen polinomok maximális abszolút értéke alulról 2¹⁻ⁿ -től kötött. Ezt a kötést a 2¹⁻ⁿT_n skálázott Csebisev-polinomok érik el, amelyek szintén monikusak. (Emlékezzünk arra, hogy |T_n(x)|≤1 x ∈[−1,1] esetén. Ezért, ha az x_i interpolációs csomópontok a T_n gyökei, a hiba:

${\displaystyle }$$\left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.$

Egy tetszőleges [a, b] intervallum esetén a változó változása azt mutatja

${\displaystyle }$$\left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.$

Irodalom

• Stewart, Gilbert W. (1996), Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, ISBN 978-0-89871-362-6.

További irodalom

• Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8. kiadás, 503–512. ISBN 0-534-39200-8 .