Affin transzformáció


Az affin transzformáció az affin geometriában használt, illetve a lineáris algebra részeként is tárgyalható fogalom. Egy affin transzformáció során a transzformált koordináták az eredeti koordináták lineáris függvényeként állnak elő. Ide tartoznak a lineáris transzformációk.

Franciaország körvonala
Franciaország körvonala
Franciaország körvonala affin transzformáció (nyírás) után. Látható, hogy a négyzetekből paralelogrammák lettek
Franciaország körvonala affin transzformáció (nyírás) után. Látható, hogy a négyzetekből paralelogrammák lettek

Lényege, hogy egy affin terek közötti transzformáció affin, ha megőrzi a kollinearitást, a párhuzamosságot és az osztóviszonyt. Pontosabban:

  • A kollinearitást megőrzi, ha valahányszor egy egyenesre esik három pont, akkor a képpontok is egy egyenesre esnek. Ez nem zárja ki, hogy a képük ugyanaz a pont legyen.
  • A párhuzamosságot megőrzi, ha valahányszor két egyenes párhuzamos, akkor a képegyenesek is párhuzamosok.
  • Az osztóviszony megőrzése azt jelenti, hogy valahányszor három pont egy egyenesre esik, a képpontok közötti távolságot a középső pont ugyanabban az arányban osztja fel, mint az eredeti pontok közül a középső pont.

Speciális affin transzformációk:

  • Egy affin tér önmagára vett bijektív affin transzformációját affinitásnak nevezik.
  • A fixpontos affin transzformációkat lineáris leképezéseknek nevezik például az iskolai matematikában vagy speciális alkalmazásterületeken, például a statisztikában.

Definíció szerkesztés

Ha   és   affin terek, akkor egy   leképezés affin, ha van egy   lineáris leképezés a hozzájuk tartozó vektorterek között úgy, hogy

 

minden   pontra. Itt az   és   vektorok az eredeti pontok és a képpontok összekötő vektorai.

Hogyha   és  , akkor az   leképezés affin, ha van egy   lineáris leképezés úgy, hogy

 

minden  . Ekkor az affin leképezés megkapható egy lineáris leképezésből az   vektorral való eltolással.

Tulajdonságok szerkesztés

  • A definícióban szereplő   leképezést   egyértelműen meghatározza. A következőkben   jelöli.
  • Egy   leképezés akkor és csak akkor affin, ha van egy   úgy, hogy
 

lineáris.

  • Ha adva van   és  , illetve egy   lineáris leképezés, akkor pontosan egy   affin leképezés létezik úgy, hogy   és  .
  • Egy   affin leképezés pontosan akkor bijektív, ha   is bijektív. Ekkor az   inverz leképezés szintén affin és  .
  • Ha   szintén affin tér úgy, hogy  ,   is affin, akkor   is affin, és  .

Ábrázolások koordinátákkal szerkesztés

Affin koordináta-rendszerben szerkesztés

Descartes-koordináta-rendszert vagy általánosabban, affin koordináta-rendszert feltételező esetben az affin transzformációk előállnak egy lineáris transzformáció és egy eltolás szorzataként. Egy lineáris transzformáció ábrázolható mátrixszal, és egy eltolás vektorral, azért az affin transzformáció általános alakját a következőképpen írhatjuk fel:

 

Ahol a 3x3 -as A mátrix valamilyen lineáris transzformáció mátrixa ami lehet skálázás, forgatás, tükrözés, vetítés, nyírás vagy ezek tetszőleges konkatenáltja. A P vektor pedig valamilyen eltolás vektoraként értelmezhető.

Röviden:

 

Ezzel az írásmóddal   és   oszlopvektorok, és egy pont ősképét, illetve képét ábrázolják. Az   mátrix sorainak száma megegyezik annak a térnek a dimenziójával, amibe a transzformáció képez( ); az oszlopok száma egyenlő annak a térnek a dimenziójával, amiből a transzformáció képez ( ).

Az affin leképezés   képterének dimenziója megegyezik a mátrix rangjával.

Ha egy affin teret önmagára képezünk, akkor csak egy koordináta-rendszert kell választani; mind  , mind   koordinátáit ebben a rendszerben írjuk fel. Mivel az ős- és a képtér megegyezik, dimenziójuk ugyanakkora, így az   mátrix oszlopainak és sorainak száma megegyezik, tehát az   mátrix négyzetes. Ebben az összefüggésben azonosítják az eltolások terét is az affin térrel. Így az affin önleképezések azonosíthatók a lineáris leképezések és az eltolások kombinációjával.

Egy affin önleképezés pontosan akkor affinitás, ha a leképezésmátrix determinánsa nem nulla.

Homogén koordinátákkal szerkesztés

Homogén koordináták használata esetén egyetlen mátrixszorzással felírható:

 

A leképezés egyenlete homogén koordinátavektorokkal:

 .

Ez az ábrázolás értelmezhető az affin tér megfelelő dimenziójú projektív térbe ágyazásaként. Ekkor a homogén koordináták értelmezhetők projektív koordinátákként.

Osztályozás szerkesztés

Az affinitásokat fixpontjaik szerint osztályozzák. Egy pont fixpont, ha a transzformáció önmagára képezi le. Ha   fixpont, akkor koordinátái meghatározhatók az   egyenlet alapján. Figyelembe kell venni, hogy   fixpont is létezhet, lásd például a síkban a tengelyes tükrözést.

Az osztályozás a síkbeli (kétdimenziós) affin térben:

  1. Identitás, minden pont fix
  2. Tengelyes affinitás: egy affinitás, melynek fixpontjai egyenest alkotnak, ez az affinitás tengelye. Ide tartoznak a ferdén tükrözések, a nyírások és a párhuzamos nyújtások.
  3. Középpontos affinitás: egyetlen fixpont van, az affinitás középpontja. Ide tartoznak a forgatva nyújtás, köztük a középpontos tükrözések, forgatások és középpontos hasonlóságok; a nyírva nyújtás és az Euler-affinitás.
  4. Fixpont nélküli affinitások: ide tartoznak a valódi eltolások, vagy pedig egy tengelyes vagy középpontos affinitás kombinációja valódi eltolással.

A síkbeli affinitások normálformája szerkesztés

Alkalmas affin pontbázisválasztással minden síkaffinitás normálformára hozható. Ehhez az origót egy fixpontban jelölik ki. Amennyiben vannak fixegyenesek, úgy a koordinátatengelyeket ezek irányában jelölik ki. Persze ezek a módszerek az identitás esetén nem működnek, de ahhoz önkényesen választunk origót és tengelyeket, és amúgy is az identitásmátrixot kapjuk. Az alábbi normálformák a valós affin sík normálformáit tartalmazzák. Amennyiben nincs fixpont, úgy a leíráshoz egy   vektorra is szükség van.

  • Tengelyes affinitások:
  • Nyírás

 

  • Ferdén tükrözés

 

  • Párhuzamos nyújtás

 

  • Középpontos affinitások: a fixpontot origónak választva, a tengelyeket az A mátrix sajátvektorainak irányába felvéve
  • Forgatva nyújtás

 , ahol   a nyújtás tényezője, és   a forgatás szöge

  • Nyírva nyújtás

 

  • Euler-affinitás

 

Ha   a valós számok euklideszi részteste, akkor a   affin sík affin transzformációi is ugyanígy csoportosíthatók; ekkor azonban a mátrixkoordinátáknak is ebből a testből kell kikerülniük, azaz  . Forgatva nyújtások esetén azonban a   szögmértéknek nem kell testelemnek lennie.

Speciális affin transzformációk szerkesztés

  • Egy tér önmagára vett affin transzformációja affin önleképezés. Ha egy önleképezés bijektív, akkor affinitás.
  • Ha egy affinitásban minden egyenes párhuzamos a képével, akkor az dilatáció vagy homotécia. Az eltolások speciális homotéciák.
  • Ha egy affin önleképezés megőrzi a pontok euklideszi távolságát, akkor az egybevágóság. Ezek a leképezések szükségszerűen bijektívek, tehát affinitások.
  • Fontos nem bijektív önleképezések a merőleges vetítések. Jellegzetességük, hogy a teret egy alterére képezik le, és az adott altérre leszűkítve az altér identitását kapjuk.
  • Egydimenziós affin tér önleképezéseit affin függvényeknek is nevezik.

Alkalmazások szerkesztés

 
Egy önaffin fraktálszerű alakzat a Barnsley-páfrány. A teljes levél affin transzformációval átvihető kisebb levélkéibe tükrözéssel, forgatással, skálázással és eltolással

Grafikus alkalmazások szerkesztés

Affin leképezéseket alkalmaznak a térképészetben és a képfeldolgozásban.

  • A robotikában és a komputergrafikában a forgatás, tükrözés, skálázás, nyírás és eltolás a gyakrabban alkalmazott transzformációk. Mindezek a leképezések bijektívek.
  • Ha háromdimenziós testeket akarunk két dimenzióban ábrázolni, akkor nem bijektív leképezéseket használnak:
  • párhuzamos vetítés annak speciális eseteivel
  • középpontos vetítés, ami nem affin, hanem projektív transzformáció
  • további transzformációk, amelyek még csak nem is projektív transzformációk, lásd a Mercator-vetítés
  • A vektorgrafikák standardizált leírásában szintén affin transzformációkat használnak (például SVG formátum)

Statisztikai alkalmazások szerkesztés

A statisztikában lineáris transzformációkkal lehet a legtöbbször találkozni.

Eloszlások jellemzése szerkesztés

Legyen   véletlen valószínűségi változó, az   várható értékkel és   szórásnégyzettel! Képezzük az   véletlen valószínűségi változót úgy, hogy az   véletlen valószínűségi változó lineáris transzformáltja legyen, azaz

 

ahol   és   valós számok.

Ekkor az   véletlen valószínűségi változó várható értéke

 

szórásnégyzete

 

Speciálisan, ha   normális eloszlású, akkor   is normális eloszlású, a fenti paraméterekkel.

Például: Legyen   pozitív szórásnégyzetű véletlen valószínűségi változó! Ekkor hasznos az

 

lineáris transzformáció, mivel ekkor   az   és   értékekkel standardizált véletlen valószínűségi változó.

Legyen   valószínűségi vektorváltozó, legyen   a várható értékek vektora, és   az   valószínűségi vektorváltozó kovarianciamátrixa! Ekkor, ha az   valószínűségi vektorváltozó az   valószínűségi vektorváltozó lineáris transzformáltja, azaz

 

ahol   egy   dimenziós oszlopvektor és   egy   méretű mátrix; ekkor   várható értéke

 

és kovarianciamátrixa

 .

Speciálisan, ha    -dimenziós normális eloszlású, akkor     dimenziós normális eloszlású, a fent kiszámított paraméterekkel.

Példák szerkesztés

Az affin transzformációk pontot pontba, egyenest egyenesbe, párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe, síkokat síkokba visznek.

A képfeldolgozási alkalmazásokban affin transzformációkat használnak arra, hogy a kamerapozícióból adódó torzításokat kiküszöböljék. Például a műholdak által alkotott képek nagylátószögű objektívekkel készítik, és panorámaképeket alkotnak, képkombinációkat készítenek. A képek transzformációja és egyesítése érdekében kívánatos egy nagy, lapos koordináta-rendszer, a torzítások elkerülése érdekében. Így egyszerűsíthetők a számítások és az interakciók, melyeknek nem kell figyelembe venniük a különböző torzításokat.

Az alábbi táblázat egy sakktáblamintával mutat be különböző affin transzformációkat: identitást, eltolást, tükrözést, skálázást, forgatást és nyírást. A sakktábla bal oldala sötétebb, a tükrözés szemléltetésére:[1]

Affin transzformáció Mátrix Példa
Identitás    
Eltolás    
Tükrözés    
Skálázás    
Forgatás    
Nyírás    

Kapcsolódó szócikkek szerkesztés

A Wikimédia Commons tartalmaz Affin transzformáció témájú médiaállományokat.

Jegyzetek szerkesztés

Források szerkesztés

  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 6. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1992, ISBN 3-528-57235-3.
  • Hermann Schaal, Ekkehart Glässner: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Band 1, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1976, ISBN 3-528-03056-9.
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8.

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Affine Abbildung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.