Differenciálegyenlet
A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény, és az egyenlet a függvény és ennek deriváltja között teremt kapcsolatot. A problémák differenciálegyenletben való megfogalmazása a fizikában, mérnöki tudományokban, a közgazdaságtanban és még számos tudományban alapvető szerepet tölt be.
Hogy mennyire fontosak az alkalmazásaikban a differenciálegyenletek, jól példázza Newton második törvénye. Ez nem mond ki mást, mint, hogy az elmozdulás idő szerinti második deriváltja egyenesen arányos az erővel. Ha az erő minden pillanatban csak a test helyzetétől függ, akkor ez a differenciálegyenlet így írható:
ahol:
- a rezgő test tömege,
- a kitérés (út) függvénye az idő szerint
- az úgynevezett rugómerevség
- a gyorsulás[1]
- az ismeretlen függvény az x(t), ennek t szerinti második deriváltja az .
és mindez csak akkor igaz, ha a tömeg nem változik, ha változik, akkor lásd: Newton törvényei.
A differenciálegyenletek nem kizárólag akkor jutnak szerephez, ha az időben folyamatosan változnak az állapotjelzők értékei, hanem olyan diszkrét (elkülöníthető lépésekben lezajló) folyamatok esetében is (mint mondjuk egy sakkjátszma, vagy a természetben élőlénypopulációk növekedése), amikor a folyamat meghatározó állapotjellemzőinek folytonosként való kezelése tömegméretekben kielégítő helyességgel írja le a folyamatot. Egy mennyiség és megváltozásának kapcsolatára vagy megfigyelések utalnak, vagy feltételeznek egy elméleti relációt a jellemzők között. Például a növekedés általában függ magától a populáció nagyságától – ez egy közvetlenül a tapasztalatból származó modell. A bolygómozgás differenciálegyenletei viszont a newtoni mechanikából eredeztethetők.
Általában egy (közönséges) differenciálegyenlet megoldását az y=y(x) alakban írjuk fel (szóban: y az x függvénye). Az egyenletben az y(x) jelölés helyett inkább csak az y-t használjuk. Feltesszük azonban, hogy y egy valós intervallumon értelmezett, legalább annyiszor differenciálható függvény, ahányadik deriváltja szerepel az egyenletben. Például az
egy megoldása a (0,+∞)-en értelmezett (és ott differenciálható) függvény, egy másik a (2,+∞)-n értelmezett függvény.
Az egyenleteket kielégítő megoldásfüggvények csak a legegyszerűbb esetekben fejezhetők ki zárt alakban. Sok esetben szükségtelen is kiszámolni a konkrét megoldásokat, sokkal többet tudhatunk meg a folyamatokról, ha a megoldások kapcsolatait vizsgáljuk. Más esetben szükséges kiszámítani a megoldás konkrét értékeit. Mindkét feladatra számítógépes módszereket használnak, az első inkább kvalitatív, míg a második kvantitatív eredményt szolgáltat.
Differenciálegyenlet-típusok
szerkesztés- Közönséges differenciálegyenlet. Ebben az esetben az egyenlet egy egyváltozós differenciálható függvényre van felírva. Például:
- az utóbbi a lineáris oszcillátor egyenlete (pl. az ideális rugó, ideális rezgőkör stb.).
- Parciális differenciálegyenlet. Ekkor az ismeretlen függvény többváltozós és az egyenletben szereplő deriváltjai parciális deriváltak. Például:
- az utóbbi a sztochasztikus Hamilton–Jacobi–Bellman-egyenlet.
- Algebro-differenciálegyenlet. A differenciálegyenlet mellett a megoldásnak az algebrai mellékfeltételeknek is eleget kell tennie.
- Késleletett differenciálegyenlet. Itt az ismeretlen és deriváltja mellett azok időbeli eltoltjai is szerepelnek.
Példa a populációdinamikából:
- Integro-differenciálegyenletek. Deriválás mellett integrálok is szerepelnek.
Erre példa az impulzusra felírt Schrödinger-egyenlet
A különböző alkalmazási területeken további típusok is felmerülhetnek.
Közönséges differenciálegyenletek típusai
szerkesztés- n-edrendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Például:
- elsőrendű,
- másodrendű,
- negyedrendű.
- lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek, és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példa:
- elsőrendű lineáris,
- másodrendű lineáris.
- nemlineáris, ha nem lineáris. Példa:
- ,
Bernoulli-féle differenciálegyenlet
szerkesztésA Bernoulli-féle differenciálegyenlet
- (n ≠ 0,1) (1)
közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, nemlineáris differenciálegyenlet.
Riccati-féle differenciálegyenlet
szerkesztésA Riccati-féle differenciálegyenlet
- (1)
közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, legfeljebb másodfokú differenciálegyenlet. Speciális esetei a lineáris és a Bernoulli-féle differenciálegyenletek.
Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet
szerkesztésAz Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet egyismeretlenes, másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típus:
- (1)
ahol és állandók.
Közönséges, lineáris differenciálegyenletek típusai
szerkesztés- homogén lineáris differenciálegyenlet (függő változóban homogén), ha lineáris, de nincs benne sem kizárólag az x-től függő sem konstans tag. Példa:
- elsőrendű homogén lineáris,
- másodrendű homogén lineáris.
- inhomogén lineáris differenciálegyenlet, ha van benne konstans, vagy x-től függő tag. Példa:
- elsőrendű inhomogén lineáris,
- másodrendű inhomogén lineáris.
- állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, ha az y és összes deriváltja együtthatója konstans. Példa:
- elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris,
- másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris.
Differenciálegyenletek megoldása
szerkesztésDifferenciálegyenletet megoldani annyit tesz, mint meghatározni azokat a függvényeket, melyek a deriváltjaikkal együtt azonosan kielégítik az adott differenciálegyenletet. Ezeket a függvényeket tekintjük a differenciálegyenlet megoldásainak. Mivel a differenciálegyenletet általában integrálással oldjuk meg, a megoldást szokás a differenciálegyenlet integráljának is nevezni.
Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet általános megoldása az a függvény, mely pontosan n számú egymástól független állandót (paramétert) tartalmaz, és azonosan kielégíti az adott differenciálegyenletet.
Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet partikuláris megoldása az a függvény, mely legfeljebb n-1 számú egymástól független állandót (paramétert) tartalmaz, és azonosan kielégíti az adott differenciálegyenletet. Speciális esetben egyetlen paramétert sem tartalmaz a partikuláris megoldás. Általában (de nem mindig) az általános megoldás tartalmazza az összes partikuláris megoldást is, melyet úgy kaphatunk, hogy a paramétereknek konkrét értékeket adunk. A differenciálegyenlet partikuláris megoldásának kiválasztásához feltételeket kell megadni. Egy n-edrendű közönséges differenciálegyenlethez meg lehet adni a független változó egy adott értékéhez tartozó függvényértéket, az első, második, …, (n-1)-edik derivált értékét. Ezeket nevezzük kezdeti feltételnek. Amennyiben mind az n számú adatot megadjuk, a partikuláris megoldás nem fog paramétert tartalmazni.
Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását úgy is ki lehet választani, hogy legfeljebb n számú összetartozó (t, x(t)) értéket adunk meg, amit az x(t) partikuláris megoldásnak ki kell elégítenie. Ezeket nevezzük kerületi, illetve határfeltételeknek. Ha pontosan n számú kerületi feltételt adunk meg, a partikuláris megoldásban nem lesz paraméter.
Az elsőrendű közönséges differenciálegyenlet általános megoldása az x, y síkban egy egyparaméteres görbesereget határoz meg. Az itt megadható kezdeti feltétel geometriailag egy pont megadását jelenti, és így az egy kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás a görbeseregnek azt a görbéjét jelenti, amely áthalad az adott ponton.
A másodrendű közönséges differenciálegyenlet általános megoldása az x, y síkban egy kétparaméteres görbesereget határoz meg. Ebben az esetben a kezdeti feltétel geometriai jelentése egy pont és azon pontban a partikuláris megoldás érintője.
Megoldási módszerek
szerkesztés- A változók szeparálása:
- • Az y' = F(x, y) közönséges esetben akkor beszélünk a szeparábilis avagy szétválasztható változójú egyenletről, ha F előáll F(x, y) = f(x)·g(y) szorzat alakban.
- • Parciális differenciálegyenlet esetén a változók szeparálásán azt értjük, hogy a z = z(x, y) megoldásfüggvényt a z = f(x)·g(y) alakban keressük – ekkor az egyenlet szeparábilis megoldásait kapjuk meg.
- Egzakt differenciálegyenlet: akkor mondjuk az elsőrendű egyenletről, hogy egzakt, ha P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 alakú, és ∂P/(∂y) = ∂Q/(∂x). Ekkor az implicit általános megoldás Φ(x, y) = konstans, akkor és csak akkor, ha ∂Φ/(∂x) = P és ∂Φ/(∂y) = Q.
Szoftver
szerkesztésJegyzetek
szerkesztés- ↑ Gémes Margit – Szentmiklóssy Zoltán: Bevezetés a matematikába jegyzet és példatár kémia BsC-s hallgatók számára: 24. Differenciálegyenletek. http://web.cs.elte.hu/~szzoltan/bmk/bmk.html. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet (2015. augusztus 20.) (Hozzáférés: 2020. augusztus 24.) arch
- ↑ O. Arino, M.L. Hbid, E. Ait Dads (Hrsg.): Delay Differential Equations and Applications. In: NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Springer-Verlag, Niederlande 2006.
- ↑ dsolve. (Hozzáférés: 2020. május 12.)
- ↑ Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0. doc.sagemath.org. (Hozzáférés: 2020. május 12.)
- ↑ Symbolic algebra and Mathematics with Xcas. (Hozzáférés: 2020. május 12.)
Források
szerkesztés- Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1975
- Obádovics J. Gyula: Matematika, Scolar Kiadó, 1994