Differenciálegyenlet

Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2023. október 21. 2 változtatás vár ellenőrzésre.

A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény, és az egyenlet a függvény és ennek deriváltja között teremt kapcsolatot. A problémák differenciálegyenletben való megfogalmazása a fizikában, mérnöki tudományokban, a közgazdaságtanban és még számos tudományban alapvető szerepet tölt be.

Egy rugóval rögzített test elmozdulását az időben (ha az energiaveszteségtől eltekintünk) egy típusú egyenlet írja le. Ennek megoldása például az és a függvény is

Hogy mennyire fontosak az alkalmazásaikban a differenciálegyenletek, jól példázza Newton második törvénye. Ez nem mond ki mást, mint, hogy az elmozdulás idő szerinti második deriváltja egyenesen arányos az erővel. Ha az erő minden pillanatban csak a test helyzetétől függ, akkor ez a differenciálegyenlet így írható:

ahol:

a rezgő test tömege,
a kitérés (út) függvénye az idő szerint
az úgynevezett rugómerevség
a gyorsulás[1]
az ismeretlen függvény az x(t), ennek t szerinti második deriváltja az .

és mindez csak akkor igaz, ha a tömeg nem változik, ha változik, akkor lásd: Newton törvényei.

A differenciálegyenletek nem kizárólag akkor jutnak szerephez, ha az időben folyamatosan változnak az állapotjelzők értékei, hanem olyan diszkrét (elkülöníthető lépésekben lezajló) folyamatok esetében is (mint mondjuk egy sakkjátszma, vagy a természetben élőlénypopulációk növekedése), amikor a folyamat meghatározó állapotjellemzőinek folytonosként való kezelése tömegméretekben kielégítő helyességgel írja le a folyamatot. Egy mennyiség és megváltozásának kapcsolatára vagy megfigyelések utalnak, vagy feltételeznek egy elméleti relációt a jellemzők között. Például a növekedés általában függ magától a populáció nagyságától – ez egy közvetlenül a tapasztalatból származó modell. A bolygómozgás differenciálegyenletei viszont a newtoni mechanikából eredeztethetők.

Általában egy (közönséges) differenciálegyenlet megoldását az y=y(x) alakban írjuk fel (szóban: y az x függvénye). Az egyenletben az y(x) jelölés helyett inkább csak az y-t használjuk. Feltesszük azonban, hogy y egy valós intervallumon értelmezett, legalább annyiszor differenciálható függvény, ahányadik deriváltja szerepel az egyenletben. Például az

egy megoldása a (0,+∞)-en értelmezett (és ott differenciálható) függvény, egy másik a (2,+∞)-n értelmezett függvény.

Az egyenleteket kielégítő megoldásfüggvények csak a legegyszerűbb esetekben fejezhetők ki zárt alakban. Sok esetben szükségtelen is kiszámolni a konkrét megoldásokat, sokkal többet tudhatunk meg a folyamatokról, ha a megoldások kapcsolatait vizsgáljuk. Más esetben szükséges kiszámítani a megoldás konkrét értékeit. Mindkét feladatra számítógépes módszereket használnak, az első inkább kvalitatív, míg a második kvantitatív eredményt szolgáltat.

Differenciálegyenlet-típusok

szerkesztés
 
 
az utóbbi a lineáris oszcillátor egyenlete (pl. az ideális rugó, ideális rezgőkör stb.).
  • Parciális differenciálegyenlet. Ekkor az ismeretlen függvény többváltozós és az egyenletben szereplő deriváltjai parciális deriváltak. Például:
 
 
az utóbbi a sztochasztikus Hamilton–Jacobi–Bellman-egyenlet.
  • Algebro-differenciálegyenlet. A differenciálegyenlet mellett a megoldásnak az algebrai mellékfeltételeknek is eleget kell tennie.
  • Késleletett differenciálegyenlet. Itt az ismeretlen és deriváltja mellett azok időbeli eltoltjai is szerepelnek.

Példa a populációdinamikából:

 [2]
  • Integro-differenciálegyenletek. Deriválás mellett integrálok is szerepelnek.

Erre példa az impulzusra felírt Schrödinger-egyenlet

A különböző alkalmazási területeken további típusok is felmerülhetnek.

Közönséges differenciálegyenletek típusai

szerkesztés
  • n-edrendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Például:
  elsőrendű,
  másodrendű,
  negyedrendű.
  • lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek, és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példa:
  elsőrendű lineáris,
  másodrendű lineáris.
  • nemlineáris, ha nem lineáris. Példa:
 ,
 

Bernoulli-féle differenciálegyenlet

szerkesztés

A Bernoulli-féle differenciálegyenlet

  (n ≠ 0,1) (1)

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, nemlineáris differenciálegyenlet.

Riccati-féle differenciálegyenlet

szerkesztés

A Riccati-féle differenciálegyenlet

  (1)

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, legfeljebb másodfokú differenciálegyenlet. Speciális esetei a lineáris és a Bernoulli-féle differenciálegyenletek.

Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet

szerkesztés

Az Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet egyismeretlenes, másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típus:

  (1)

ahol   és   állandók.

Közönséges, lineáris differenciálegyenletek típusai

szerkesztés
  • homogén lineáris differenciálegyenlet (függő változóban homogén), ha lineáris, de nincs benne sem kizárólag az x-től függő sem konstans tag. Példa:
  elsőrendű homogén lineáris,
  másodrendű homogén lineáris.
  • inhomogén lineáris differenciálegyenlet, ha van benne konstans, vagy x-től függő tag. Példa:
  elsőrendű inhomogén lineáris,
  másodrendű inhomogén lineáris.
  • állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, ha az y és összes deriváltja együtthatója konstans. Példa:
  elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris,
  másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris.

Differenciálegyenletek megoldása

szerkesztés

Differenciálegyenletet megoldani annyit tesz, mint meghatározni azokat a függvényeket, melyek a deriváltjaikkal együtt azonosan kielégítik az adott differenciálegyenletet. Ezeket a függvényeket tekintjük a differenciálegyenlet megoldásainak. Mivel a differenciálegyenletet általában integrálással oldjuk meg, a megoldást szokás a differenciálegyenlet integráljának is nevezni.

Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet általános megoldása az a függvény, mely pontosan n számú egymástól független állandót (paramétert) tartalmaz, és azonosan kielégíti az adott differenciálegyenletet.

Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet partikuláris megoldása az a függvény, mely legfeljebb n-1 számú egymástól független állandót (paramétert) tartalmaz, és azonosan kielégíti az adott differenciálegyenletet. Speciális esetben egyetlen paramétert sem tartalmaz a partikuláris megoldás. Általában (de nem mindig) az általános megoldás tartalmazza az összes partikuláris megoldást is, melyet úgy kaphatunk, hogy a paramétereknek konkrét értékeket adunk. A differenciálegyenlet partikuláris megoldásának kiválasztásához feltételeket kell megadni. Egy n-edrendű közönséges differenciálegyenlethez meg lehet adni a független változó egy adott értékéhez tartozó függvényértéket, az első, második, …, (n-1)-edik derivált értékét. Ezeket nevezzük kezdeti feltételnek. Amennyiben mind az n számú adatot megadjuk, a partikuláris megoldás nem fog paramétert tartalmazni.

Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását úgy is ki lehet választani, hogy legfeljebb n számú összetartozó (t, x(t)) értéket adunk meg, amit az x(t) partikuláris megoldásnak ki kell elégítenie. Ezeket nevezzük kerületi, illetve határfeltételeknek. Ha pontosan n számú kerületi feltételt adunk meg, a partikuláris megoldásban nem lesz paraméter.

Az elsőrendű   közönséges differenciálegyenlet   általános megoldása az x, y síkban egy egyparaméteres görbesereget határoz meg. Az itt megadható   kezdeti feltétel geometriailag egy   pont megadását jelenti, és így az egy kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás a görbeseregnek azt a görbéjét jelenti, amely áthalad az adott   ponton.

A másodrendű   közönséges differenciálegyenlet   általános megoldása az x, y síkban egy kétparaméteres görbesereget határoz meg. Ebben az esetben a kezdeti feltétel geometriai jelentése egy   pont és azon pontban a partikuláris megoldás érintője.

Megoldási módszerek

szerkesztés
  • A változók szeparálása:
• Az y' = F(x, y) közönséges esetben akkor beszélünk a szeparábilis avagy szétválasztható változójú egyenletről, ha F előáll F(x, y) = f(xg(y) szorzat alakban.
Parciális differenciálegyenlet esetén a változók szeparálásán azt értjük, hogy a z = z(x, y) megoldásfüggvényt a z = f(xg(y) alakban keressük – ekkor az egyenlet szeparábilis megoldásait kapjuk meg.
  • Egzakt differenciálegyenlet: akkor mondjuk az elsőrendű egyenletről, hogy egzakt, ha P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 alakú, és ∂P/(∂y) = ∂Q/(∂x). Ekkor az implicit általános megoldás Φ(x, y) = konstans, akkor és csak akkor, ha ∂Φ/(∂x) = P és ∂Φ/(∂y) = Q.
  1. Gémes Margit – Szentmiklóssy Zoltán: Bevezetés a matematikába jegyzet és példatár kémia BsC-s hallgatók számára: 24. Differenciálegyenletek. http://web.cs.elte.hu/~szzoltan/bmk/bmk.html. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematikai Intézet (2015. augusztus 20.) (Hozzáférés: 2020. augusztus 24.) arch
  2. O. Arino, M.L. Hbid, E. Ait Dads (Hrsg.): Delay Differential Equations and Applications. In: NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Springer-Verlag, Niederlande 2006.
  3. dsolve. (Hozzáférés: 2020. május 12.)
  4. Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0. doc.sagemath.org. (Hozzáférés: 2020. május 12.)
  5. Symbolic algebra and Mathematics with Xcas. (Hozzáférés: 2020. május 12.)
  1. Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1975
  2. Obádovics J. Gyula: Matematika, Scolar Kiadó, 1994