De Moivre-képlet

A De Moivre-képlet, amely Abraham de Moivre francia matematikusról kapta a nevét, azt mondja ki, hogy minden x komplex szám (sajátos esetben minden valós szám) és minden n egész szám esetén fennáll a

A harmadrendű egységgyökök ábrázolása

egyenlőség.

A képlet azért fontos, mert összeköti a komplex számokat a trigonometrikus függvényekkel.

Kifejtve a bal oldali kifejezést és összehasonlítva a valós és imaginárius részeket, levezethető cos(nx) illetve sin(nx) cos(x) és sin(x) függvényében. Ezen kívül, a képlet segítségével meg lehet határozni az n-edrendű egységgyököket, vagyis azokat a z komplex számokat, amelyekre zn = 1.

BizonyításSzerkesztés

Három esetet veszünk.

Ha n > 0, teljes indukciót használunk. Ha n = 1, az eredményt nyilvánvalóan igaz. Tételezzük fel tehát, hogy az eredmény igaz egy tetszőleges k egész szám esetén. Vagyis azt feltételezzük, hogy

 

Akkor n = k + 1 esetén:

 

Vagyis bebizonyítottuk azt, hogy amennyiben a képlet igaz k -ra, akkor igaz n = k + 1 -re is. A teljes indukció elve alapján következik, hogy az eredmény igaz lesz minden n≥1 pozitív egész szám esetében.

Ha n = 0 a képlet igaz, mivel  , és  .

Ha n < 0, vegyük azt az m pozitív egész számot, amelyre n = ‒m. Akkor

 

Vagyis a tétel igaz minden egész szám n-re.

AlkalmazásSzerkesztés

A képlet segítségével meghatározhatók egy komplex szám  -edik gyökei. Ha   egy komplex szám, melynek trigonometrikus alakja

 

akkor

 

akkor az   darab különböző gyök értékét úgy kapjuk, hogy sorra behelyettesítjük  -t egész értékekkel   és   között.