Legendre-polinomok

A Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet partikuláris megoldásai. Speciális valós vagy komplex polinomok, amik ortogonális függvényrendszert alkotnak. Fontos szerepet játszanak az elméleti fizikában, különösen a kvantummechanikában és az elektrodinamikában. Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapták nevüket.

SzármaztatásSzerkesztés

Ortogonális polinomok konstrukciójaSzerkesztés

Adva legyen az [a,b] intervallum, és egy rajta értelmezett   súlyfüggvény. A   valós polinomsorozat ortogonális, ha teljesíti az

 

ortogonalitási relációt minden    -re.

Az   intervallum a   súlyfüggvénnyel ugyanazokat az ortogonális polinomokat adja, mint amiket a Gram-Schmidt ortogonalizáló eljárás iteratív alkalmazása a   monomokra, ha még az is teljesül, hogy  .

Legendre-differenciálegyenletSzerkesztés

A   Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet megoldásai:

 

amelynek ekvivalens alakja

 

A differenciálegyenlet megoldásának általános alakja

 

ahol   jelöli a Legendre-polinomokat, más néven az elsőfajú Legendre-függvényeket, és   a másodfajú Legendre-függvényeket, amelyek nem polinomok.

JellemzésSzerkesztés

Az  -edik Legendre-polinom racionális együtthatós  -edfokú polinom. A Legendre-polinomok többféleképpen is számíthatók, és rekurzívan is előállíthatók.

Minden gyökük valós, és az I = [ − 1,1] intervallumban van. Pn(x) két gyöke között van egy gyöke Pn+1(x)-nek.

Továbbá

  •  
  •  
  •  

Teljes ortogonális rendszerSzerkesztés

A Legendre-polinomok teljes ortogonális rendszert alkotnak a   skalárszorzattal ellátott

  Hilbert-téren.

Az ortogonalitás azt jelenti, hogy

  minden  -re.

 , ahol   a Kronecker-deltát jelöli.

A teljesség azt jelenti, hogy minden   függvény végtelen sorba fejthető a Legendre-polinomok szerint:

 

a   együtthatókkal.

A fizikában és a technikai irodalomban sokszor disztribúciós értelemben tekintik a teljességet:

 

ahol   a Dirac-deltát jelöli.

ElőállításSzerkesztés

GenerátorfüggvénySzerkesztés

Minden  ,  ,  -re

 

Itt a jobb oldali hatványsor konvergenciasugara 1.

Mindezek miatt a   függvényt a   Legendre-polinomok generátorfüggvénye.

Rodrigues-formulaSzerkesztés

 

Egy alternatív képletSzerkesztés

 

Előállítás integrálkéntSzerkesztés

Minden  -re

 

RekurziókSzerkesztés

A Legendre-polinomokra teljesülnek a következő rekurziók:

 
 

Az első rekurzió n'=n+1 helyettesítéssel a következő alakba megy át:

 

Differenciálással

 , illetve  

Így adódik az a rekurzió, amely magába foglalja a Legendre-polinomok deriváltjait is:

 

A kezdeti feltételek

  és   .

 -re ismét a fenti képlet adódik kezdeti feltételekkel együtt.

Aszimptotikus formulákSzerkesztés

A generátorfüggvény szingularitás analíziséből a következő aszimptotikus formulákhoz juthatunk:

 
 

amint  , rögzített   számra.

Az első Legendre-polinomokSzerkesztés

 
Az első néhány Legendre-polinom

Az első néhány Legendre-polinom:

 
 
 
 
 
 

Másodfajú Legendre-függvényekSzerkesztés

A Legendre-polinomok rekurziós képletei a másodfajú Legendre-függvényekre is teljesülnek. Így az első Legendre-függvényből kiindulva

 
 
 
 

ForrásokSzerkesztés