Lineáris altér

a lineáris algebra egyik fontos fogalma
(Altér szócikkből átirányítva)

A lineáris altér a matematika, közelebbről a lineáris algebra egyik fontos fogalma. Egy vektortér, mint struktúra bizonyos tulajdonságokkal ellátott részhalmazára akkor mondjuk, hogy lineáris altér a vektortérben, ha teljesíti az ugyanazon vektor- illetve skalárral való szorzás műveleti zártságának követelményét; azaz a másik altérben definiált összeadás és szorzás nem vezet ki belőle.

Minden lineáris altér generálható a kiindulási tér néhány lineárisan független vektorával. Két altér összege és metszete szintén lineáris altér, melyek dimenziója a dimenzióképlettel számítható. Minden lineáris altérnek van kiegészítő altere, mellyel vett direkt összege a kiindulási vektorteret adja. Minden altérhez rendelhető faktortér, ami úgy keletkezik, hogy az eredeti tér vektorait az altér mentén párhuzamosan vetítjük.

A lineáris algebrában az altereket arra használják, hogy jellemezzék lineáris leképezések mag- és képterét, lineáris egyenletek megoldáshalmazát és sajátértékproblémák sajáttereit. A funkcionálanalízisben Hilbert-terek, Banach-terek altereit és duális tereket vizsgálnak. Az alterek sokoldalú alkalmazásokkal bírnak, mint például nagy lineáris és differenciál-egyenletrendszerek numerikus megoldása, optimalizálásban, kódoláselméletben és jelfeldolgozásban.

Definíció szerkesztés

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W   V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése WV.

Tulajdonságok szerkesztés

Tétel
Egy F test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
  1.   és
  2.  
Bizonyítás
Ha W altér, akkor 1. és 2. feltételek teljesülnek, mivel ezek pontosan azt jelentik, hogy a V vektortér műveleteinek a megszorításai a W halmazon is műveletek.
Megfordítva, csak azt kell igazolni, hogy W-ben létezik nullelem és minden elemnek létezik inverze. Legyen vW tetszőleges, 2. miatt 0 = 0vW nullelem, és -v = (-1)vW inverz. Tehát W az összeadásra csoportot alkot, így részcsoport V-ben, tehát W is Abel-csoport. Ezzel W is vektortér.

W altér nulleleme megegyezik a V vektortér nullelemével.

Példák szerkesztés

Konkrét példák szerkesztés

 
Az   alakú vektorok, melyekre   teljesül, alteret alkotnak az euklideszi síkban

A   tér vektortér a szokásos összeadásra és skalárral való szorzásra. Legyen továbbá   azoknak az   vektoroknak a halmaza, melyekre igaz, hogy  ! Ekkor   altere a   vektortérnek, mivel minden   esetén:

  •   benne van  -ban,
  •  
  •  

Egy tvábbi példaként tekintsük az   fölött definiált   valós függvények vektorterét! Ez a szokásos összeadással és skalárral szorzással vektorteret alkot. Ebben a vektortérben a   lineáris függvények alteret alkotnak, hiszen minden   esetén:

  • az   nullfüggvény benne van
  •  , így  
  •  , tehát  

Általánosabb példák szerkesztés

  • bármely vektortérben triviális alterek: az egész tér, és csak a 0 vektorból álló altér,
  • a valós számok, mint valós számok fölötti vektortérben az összes altér az egész tér és csak a 0 vektorból álló altér,
  • a valós számok fölötti komplex   vektortérben a valós számok   halmaza és a tisztán képzetes számok halmaza,   alterek;
  • az   euklideszi sík vektortérben az origón átmenő egyenesek alterek,
  • az   euklideszi tér vektortérben az origón átmenő egyenesek és síkok alterek,
  • a háromdimenziós  -ban kétdimenziós altér egy tetszőleges origón keresztülhaladó sík,
  • bármely vektortérben egy tetszőleges, de rögzített vektor összes skalárszorosai mindig alteret alkotnak,
  • tetszőleges lineáris transzformáció magtere és képtere altér az adott vektortérben,
  • a polinomok vektorterében a legfeljebb  -adfokú polinomok vektorteret alkotnak bármely rögzített   természetes számra,
  • a négyzetes mátrixok vektorterében a szimmetrikus és az antiszimmetrikus mátrixok alterek,
  • az egy adott intervallumon értelmezett valós értékű függvények vektorterében az integrálható függvények, a folytonos függvények és a differenciálható függvények alterek,
  • két, ugyanazon test fölötti vektortér közötti leképezések vektorterében a lineáris leképezések alteret alkotnak.

Generált altér szerkesztés

 
Egy   vektor   lineáris burka az euklideszi síkban

Az a1, …, anV vektorok által generált altéren az ai vektorok összes lineáris kombinációinak a halmazát értjük, és ezt〈a1, …, an〉-nel jelöljük,

 

Általában, egy V vektortér tetszőleges, véges vagy végtelen, A nemüres részhalmaza által generált〈A〉altéren, a részhalmaz vektoraival minden lehetséges módon képzett összes, véges, de tetszőlegesen hosszú, lineáris kombinációt értjük. Néha ezt a halmazt lineáris buroknak is nevezik.
Igazolható a következő állítás is

Tétel
U =〈a1, …, an〉az ai vektorokat tartalmazó legszűkebb altér V-ben, azaz
  1.  
  2.  
  3.  

Megfordítva, minden altérhez található generátorrendszer, vagyis egy   halmaz, ami generálja az alteret. Egy minimális generátorrendszer lineárisan független elemekből áll, és bázisnak nevezik. Egy bázis számossága megadja a vektortér dimenzióját.

Műveletek alterekkel szerkesztés

Metszet és unió szerkesztés

Legyenek   alterek ugyanabban a   vektortérben! Ekkor az

 

halmaz szintén altér a   vektortérben. Ellenben a két vektortér uniója:

 

akkor és csak akkor altér, ha   vagy  . Különben bár egy skalárral szorzásra zárt halmazt kapunk, melyből kivezet a vektorok összeadása.

Két altér által generált altér szerkesztés

Ha W és Z alterek a V vektortérben, akkor a W és Z által generált altérnek a

 

alteret nevezzük. Ez ugyanaz az altér, amit a két vektortér, mint halmaz uniója generál. Ha a W és Z alterek dimenziója véges, akkor a generált altér dimenziója kiszámítható a dimenziótétellel:

 ,

amiből visszafelé olvasva a metszet altér dimenziója is kiszámítható. Véges dimenziós vektorterek metszet- és összegbázisa kiszámítható a Zassenhaus-algoritmussal.

Ha WZ = 0, akkor a〈W,Z〉alteret a W és Z (belső) direkt összegének nevezzük, és a következőképpen

 

jelöljük. (A belső direkt összeg izomorf a külső direkt összeggel.)

A jóldefiniáltságot az adja, hogy a〈W,Z〉altér elemeinek w+z alakban történő felírása, wW, zZ, akkor és csak akkor egyértelmű, ha WZ = 0, ugyanis
Ha WZ = 0, és egy a ∈〈W,Z〉vektorra fennáll a

 

egyenlőség, akkor átrendezés után kapjuk, hogy w1w2 = z1z2. Ez utóbbi bal oldalán W-beli, jobb oldalán Z-beli vektor áll, így szükségképpen w1=w2, z1=z2.
Megfordítva, tegyük fel, hogy x0WZ-nek. Ekkor x = x + 0 = 0 + x két különböző előállítást ad, ez ellentmondás, tehát WZ = 0.

Mivel WZ = 0, azért a dimenziótétel a következő alakra egyszerűsödik:

 ,

ami a végtelen dimenziós esetekre is igaz.

Több operandus szerkesztés

A fenti műveletek általánosíthatók több operandusra. Legyen   a   vektortér altereinek egy családja, ahol   tetszőleges indexhalmaz! Ekkor

 

szintén altér a   vektortérben. Több altér összege

 

ahol csak véges sok tag különbözhet a csak nullvektorból álló altértől. Ha minden egyes   altér metszete a többi altér összegével a nullvektorból álló vektortér, akkor az összeg direkt, jelölése

 

Ez ekvivalens azzal, hogy az összeg vektortér minden vektora egyértelműen előáll az egyes tag vektorterek elemeinek összegeként.

Származtatott terek szerkesztés

Kiegészítő altér szerkesztés

Legyen   vektortér! Ekkor minden   alteréhez van   altér, amelyre igaz, hogy

 

Ekkor   az   komplementer tere. Minden komplementer térhez tartozik egy   vetítés az   altérre, azaz egy   idempotens lineáris leképezés, melyre teljesül, hogy

 

ahol   az identitás. Általában egy altérhez több komplementer tér is tartozik, melyek közül a vektortér struktúra egyet sem tüntet ki. Ha a térben van skalárszorzat, akkor vannak ortogonális alterek. Ha   véges dimenziós, akkor minden   alteréhez van egy   ortogonális komplementer tere, és megfelel annak, hogy

 .

Ez az   altér az   altér ortogonális komplementere.

Faktortér szerkesztés

Ha   vektortér, akkor minden   alteréhez hozzárendelhető egy   faktortér. A faktortér úgy keletkezik, hogy a vektortér elemeit párhuzamosan levetítjük az altér mentén. Formálisan, a faktorteret az

 

a   ekvivalenciaosztályainak halmaza. Egy   vektor a

  mellékosztály.

A mellékosztályok tehát az   altér párhuzamos eltoltjai, és ezek alkotják a faktorteret, ami azonban izomorf az   altér menti vetítéssel kapott altérrel. A mellékosztályokon reprezentánsok segítségével végezhetők műveletek, habár a faktortér nem altere a   vektortérnek. A faktortér dimenziója a

  képlettel számítható.

A   faktortér alterei pontosan a   faktorterek, ahol   aletere  -nek úgy, hogy  .

Duális tér, annihilátor szerkesztés

Legyen   vektortér a   test fölött! Ekkor   duális terét a  -ből  -ba menő lineáris leképezések alkotják. Ha   részhalmaza  -nek, akkor annihilátorát azok a fukcionálok alkotják, melyek eltűnnek az   halmazon. Ez egy altér a duális térben. Vagyis,

 .

Ha   véges dimenziós, akkor   egy   alterének annihilátor terének dimenziója számítható a

  képlet alapján.

Tehát egy   altér   duális tere izomorf a   faktortérrel.

A lineáris algebrában szerkesztés

Lineáris leképezések szerkesztés

Ha   egy lineáris leképezés az azonos test fölötti   és   vektorterek között, akkor a leképezés magja

 

altér  -ben, a leképezés képtere

 

pedig altér  -ben. Továbbá, egy lineáris leképezés grafikonja altér a   direkt szorzat vektortérben. Ha a   altér véges dimenziós, akkor a szóban forgó terekre teljesül a rangtétel:

 .

A kép dimenzióját rangnak, a mag dimenzióját pedig defektusnak nevezzük. A homomorfiatétel szerint a kép izomorf a   faktortérrel.

Lineáris egyenletek szerkesztés

Ha   lineáris leképezés az azonos test fölötti   és   vektorterek között, akkor a

 

lineáris egyenletrendszer altér  -ben, és éppen   magja. Egy inhomogén lineáris egyenletrendszer,

 , ahol  

megoldása affin-lineáris altere  -nek, ami a szuperpozíciós tulajdonság következménye. A megoldástér dimenziója megegyezik   magjának dimenziójával.

Sajátértékprobléma szerkesztés

Ha   egy lineáris teret önmagába képező lineáris leképezés, tehát endomorfizmus, akkor a hozzá tartozó sajátértékprobléma

 ,

ekkor a   sajátértékhez tartozó sajátaltér

 

altere  -nek, melynek nullvektortól különböző elemei a   sajátértékhez tartozó sajátvektorok. A sajátaltér dimenziója a sajátérték geometriai multiplicitása, ami nem feltétlenül egyezik az algebrai multiplicitással, de annál sosem nagyobb.

Invariáns alterek szerkesztés

Ha   endomerfizmus, akkor   egy   altere  -invariáns, ha

 

vagyis   esetén a   képvektor szintén  -beli. Az   altér   szerinti képe altér  -ban. A   és   triviális alterek,  ,   és   minden sajáttere invariáns  -re. További fontos példák invariáns alterekre a főterek, melyek a Jordan-normálak meghatározására használatosak.

A funkcionálanalízisben szerkesztés

Hilbert-terekben szerkesztés

Hilbert-terekben, azaz teljes skalárszorzatos terekben többnyire alhilbertterekkel foglalkoznak, melyek amellett, hogy mint vektorterek alterek, még a skalárszorzatra is teljesek. Ez egyet jelent azzal, hogy az altér zárt a normából származó topológiára, melyet a skalárszorzat indukál. Egy Hilbert-tér nem minden altere teljes is, azonban lezárással mindig teljes teret kapunk, amiben azz altér sűrű. A vetítési tétel szerint létezik minden alhilberttérhez egy egyértelmű ortogonális komplementer, ami még zárt is.

Az alhilbertterek fontos szerepet játszanak a kvantummechanikában, illetve jelek Fourier-, és multiskála-analízisben.

Banach-terek szerkesztés

Banach-terekben, azaz teljes normált terekben tekinthetők az albanachterek, melyek zártak a norma leszűkítésére. Az albanachterek szintén zártak. A Banach-terek minden alteréhez van egy teljes lezárt, melyben az altér sűrű. Szemben a Hilbert-terekkel, az albanachterekhez nincs mindig komplementer albanachtér.

Teljes félnormált terekben a nulla félnormájú vektorok alvektorteret alkotnak. A félnormával ellátott térből faktortér képzésével normált tér kapható, ha azonosnak tekintjük azokat a vektorokat, melyek félnormája megegyezik. Ha a félnormával ellátott tér teljes, akkor ez a faktortér Banach-tér.

A parciális differenciálegyenlet-rendszerek végeselem-módszerrel végzett numerikus megoldása során a megoldást a Szoboljev-tér alkalmas véges dimenziós albanachtereiben közelítik.

Topologikus duális terek szerkesztés

A funkcionálanalízisben az algebrai duális tér mellett foglalkoznak még egy   vektortér   topologikus duális terével is, ami azokból a lineáris leképezésekből áll, melyek a   vektorteret alaptestébe képezik. Topologikus vektoterek esetén a topologikus duális tér az algebrai duális tér altere. A Hahn-Banach-tétel szerint egy valós vagy komplex vektortér egy alterén értelmezett, szublineáris függvénnyel korlátozható lineáris funkcionál lineárisan kiterjeszthető a teljes térre úgy, hogy ez a szublineáris függvény továbbra is korlát marad. Ennek következtében egy normált tér duális topologikus tere elegendő funkcionállal bír ahhoz, hogy megalapozhasson egy gazdag dualitáselméletet.

További alkalmazások szerkesztés

Az alterek további fontos alkalmazásai:

  • A Gram-Schmidt-ortogonalizáció ortogonális bázisok létrehozásához
  • A Krylow-altéreljárás nagy ritka lineáris egyenletrendszerek megoldására
  • Optimalizációs problémák megoldása
  • A kódoláselméletben lineáris kódok
  • Projektív terek ábrázolása a projektív geometriában

Lásd még szerkesztés

Források szerkesztés

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Untervektorraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.