Lineáris altér
A lineáris altér a matematika, közelebbről a lineáris algebra egyik fontos fogalma. Egy vektortér, mint struktúra bizonyos tulajdonságokkal ellátott részhalmazára akkor mondjuk, hogy lineáris altér a vektortérben, ha teljesíti az ugyanazon vektor- illetve skalárral való szorzás műveleti zártságának követelményét.
DefinícióSzerkesztés
Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése W ≤ V.
TulajdonságokSzerkesztés
- Tétel
- Egy F test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha
- és
- Bizonyítás
- Ha W altér, akkor 1. és 2. feltételek teljesülnek, mivel ezek pontosan azt jelentik, hogy a V vektortér műveleteinek a megszorításai a W halmazon is műveletek.
- Megfordítva, csak azt kell igazolni, hogy W-ben létezik nullelem és minden elemnek létezik inverze. Legyen v ∈ W tetszőleges, 2. miatt 0 = 0v ∈ W nullelem, és -v = (-1)v ∈ W inverz.
W altér nulleleme megegyezik a V vektortér nullelemével.
PéldákSzerkesztés
- bármely vektortérben triviális alterek: az egész tér, és csak a 0 vektorból álló altér,
- bármely vektortérben egy tetszőleges, de rögzített vektor összes skalárszorosai mindig alteret alkotnak,
- tetszőleges lineáris transzformáció magtere és képtere altér az adott vektortérben,
- a háromdimenziós -ban kétdimenziós altér egy tetszőleges origón keresztülhaladó sík.
Generált altérSzerkesztés
Az a1, …, an ∈ V vektorok által generált altéren az ai vektorok összes lineáris kombinációinak a halmazát értjük, és ezt〈a1, …, an〉-nel jelöljük,
Általában, egy V vektortér tetszőleges, véges vagy végtelen, A nemüres részhalmaza által generált〈A〉altéren, a részhalmaz vektoraival minden lehetséges módon képzett összes, véges, de tetszőlegesen hosszú, lineáris kombinációt értjük.
Igazolható a következő állítás is
- Tétel
- U =〈a1, …, an〉az ai vektorokat tartalmazó legszűkebb altér V-ben, azaz
Két altér által generált altérSzerkesztés
Ha W és Z alterek a V vektortérben, akkor a W és Z által generált altérnek a
alteret nevezzük.
Ha W ∩ Z = 0, akkor a〈W,Z〉alteret a W és Z direkt összegének nevezzük, és a következőképpen
jelöljük.
A jóldefiniáltságot az adja, hogy a〈W,Z〉altér elemeinek w+z alakban történő felírása, w ∈ W, z ∈ Z, akkor és csak akkor egyértelmű, ha W ∩ Z = 0, ugyanis
Ha W ∩ Z = 0, és egy a ∈〈W,Z〉vektorra fennáll a
egyenlőség, akkor átrendezés után kapjuk, hogy w1 – w2 = z1 – z2. Ez utóbbi bal oldalán W-beli, jobb oldalán Z-beli vektor áll, így szükségképpen w1=w2, z1=z2.
Megfordítva, tegyük fel, hogy x ≠ 0 ∈ W ∩ Z-nek. Ekkor x = x + 0 = 0 + x két különböző előállítást ad, ez ellentmondás, tehát W ∩ Z = 0.
